Question

Determine o valor de “b” para a equação 2x² – 3bx + 2 = 0 possua duas raízes reais e iguais.​

Answer 1

O valor de b é $\frac{4}{3}$.

Neste exercício precisamos de pensar um pouco.

Primeiro de tudo o que são as Raízes da equação? São os resultados possíveis de x depois de aplicarmos a Fórmula de Bhaskara, sendo que é definida por:

$\mathsf{Numa~equac_{\!\!\!,}\:\tilde{a}o~do~tipo:}~ax^2+bx+c,\\\\\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac} }{2a} \mathsf{~ou~}\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

Sabemos também que vamos ter duas soluções, duas raízes (que são estas acima) e uma coisa bastante importante, que elas são iguais.

Logo:

$\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac} }{2a} =\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

Se sabemos isto não podemos resolver substituindo pelo quocientes da equação? Primeiro temos que saber quais são os quocientes, são eles:

$\setlength{\unitlength}{.3in}\begin{picture}(4,5)\put(1.4,.13){\circle{.4}}\put(2.8,.13){\circle{.5}}\put(3.95,.13){\circle{.5}}\put(1,0){ ~~2x^2-3bx+2=0 }\\\put(1.25,-0.5){ a=2 }\put(1.25,-1){ b=3b }\put(1.25,-1.5){ c=2 }\end{picture}$

Agora basta substituir e resolver:

$\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac} }{2a} =\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac} }{2a}(=)\\\\\dfrac{-(3b)+\sqrt{(3b)^2-4\times2\times2} }{2\times2} =\dfrac{-(3b)-\sqrt{(3b)^2-4\times2\times2} }{2\times2}(=)\\\\\dfrac{-3b+\sqrt{(3b)^2-16} }{4} =\dfrac{-3b-\sqrt{(3b)^2-16} }{4}(=)\\\\\dfrac{-3b+\sqrt{(3b)^2-16} }{\diagup\!\!\!\!4} =\dfrac{-3b-\sqrt{(3b)^2-16}}{\diagup\!\!\!\!4}(=)\\\\\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!-3b+\sqrt{(3b)^2-16}=~~~\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!-3b-\sqrt{(3b)^2-16}(=)$

$\backslash\!\!\!\!\!\sqrt{(3b)^2-16}=-~\backslash\!\!\!\!\!\sqrt{(3b)^2-16}(=)\\\\(3b)^2-16= -((3b^2)-16)(=)\\\\9b^2-16=-9b^2+16(=)\\\\9b^2+9b^2=16+16(=)\\\\18b^2=32(=)\\\\b^2=\dfrac{32}{18_{(:2)}} (=)\\\\b^2=\dfrac{16}{9} (=)\\\\b= \sqrt{\dfrac{16}{9}}(=)\\\\b=\dfrac{\sqrt{16} }{\sqrt{9} }(=)\\\\ b= \dfrac{4}{3}$

Logo o valor de b é $\dfrac{4}{3}$.

Em suma, sabíamos que as raízes eram iguais e consequentemente os dois resultados da Fórmula de Bhaskara. Igualamos tudo e resolvemos para descobrir o valor de b.

Mais sobre a Fórmula de Bhaskara: https://brainly.com.br/tarefa/7041243