Question

A soma de dois numeros naturais é 30. Quantas soluções existem para este problema se um desses números é multiplo do outro?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Ariana, se dois números naturais são tais que a sua soma é igual a 30, pede-se o número de soluções  para que um deles seja múltiplo do outro.
A propósito, não está informado se esses dois números naturais serão diferentes ou não. Se forem dois números naturais diferentes, então estaria descartada a hipótese de "15" + "15" = 30.
Contudo, se não, valeria, pois na hipótese de 15+15 = 30,  note que "15" é múltiplo (e também divisor) do próprio "15".
Veja que há várias soluções. Vamos às possíveis soluções:

i) 30 e 0 ---> pois 30+0 = 30

E, como "0" é múltiplo de todo e qualquer número, então a soma do item "i" é uma solução (note que "0" é natural).

ii) 1 e 29 ----> pois 1+29 = 30

E considerando que "1" é divisor de todo e qualquer número, então "29" é múltiplo de "1". Logo,, a soma do item "ii" é outra solução.

iii) 2 e 28 ------> pois: 2+28 = 30
 
E considerando que "28" é múltiplo de "2", então então a soma do item "iii" é outra solução:

iv) 3 e 27 ----> pois: 3+27 = 30.

E considerando que "27" é múltiplo de "3", então a soma do item "iv" é outra solução.

v) 5 e 25 ----> pois: 5+25 = 30.

E considerando que "25" é múltiplo de "5", então a soma do item "v" é outra solução.

vi) 6 e 24 -----> pois: 6 + 24 = 30

E considerando que "24" é múltiplo de "6", então a soma do item "vi" é outra solução:

vii) 10 e 20 ----> pois; 10+20 = 30

E considerando que "20" é múltiplo de "10", então a soma do item "vii" é outra solução.

viii) 15 e 15 <---- Esta hipótese valeria se os dois números naturais puderem ser iguais (como já vimos logo no início desta questão). Mas vamos sobrestar esta pretensa resposta.

Pronto. Se formos continuar daqui pra frente, iremos repetir o que já vimos até agora para quaisquer dois números naturais cuja soma seja 30 e que um seja múltiplo do outro.

Assim, em princípio, se houver a inclusão do zero (como 30+0 = 30) e valer a hipótese de esses dois números puderem ser iguais (como 15+15 = 30), então haverá, como você viu:

8 soluções <---- Esta seria a resposta, valendo destacar que estão incluídas as soluções relativas a: 30+0 = 30; e de 15+15 = 30).

Se valer apenas uma das hipóteses acima (ou a inclusão do zero, ou a possibilidade de 15+15) então seriam apenas 7 soluções.

E, finalmente, se não valerem nenhuma das duas hipóteses acima (ou seja: considerando os naturais sem o zero e não valendo a soma de naturais iguais), então a o número de soluções cairia para 6.

Assim, resumindo, teríamos:

→ 8 soluções <--- se valerem a inclusão do zero e a possibilidade de inclusão de 2 números iguais, como 15 e 15.

→ 7 soluções <--- se valer apenas uma das inclusões acima (ou o zero, ou o "15").

→ 6 soluções <--- Se não valerem as duas  possibilidades de inclusão do zero e de dois naturais iguais.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.