Question

Resolver a inequação x²+3x-4<0

Answer 1

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Resolver a inequação:

$\mathsf{x^2+3x-4<0\qquad\quad(i)}$


Vamos encontrar as raízes do lado esquerdo:

$\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{a=1}\\\mathsf{b=3}\\\mathsf{c=-4} \end{array}\right.\\\\\\\\ \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=3^2-4\cdot 1\cdot (-4)}\\\\ \mathsf{\Delta=9+16}\\\\ \mathsf{\Delta=25}$


As raízes do lado esquerdo da inequação são:

$\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2\cdot 1}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-3+\sqrt{25}}{2\cdot 1}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-3-5}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-3+5}{2}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-8}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{2}{2}}\\\\ \mathsf{r_1=-4}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=1}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(ra\'izes)} \end{array}$


Fatorando o lado esquerdo de $\mathsf{(i)},$ ficamos com

$\mathsf{a(x-r_1)(x-r_2)<0}\\\\ \mathsf{(x-(-4))(x-1)<0}\\\\ \mathsf{(x+4)(x-1)<0}\quad\longleftarrow\quad\textsf{inequa\c{c}\~ao-produto\qquad(ii)}$


Montando o quadro de sinais:

$\begin{array}{cc} \mathsf{x+4}&\mathsf{\underline{~~---}\underset{-4}{\bullet}\underline{++++}\underset{1}{\bullet}\underline{+++~~}_{\blacktriangleright}}\\\\ \mathsf{x-1}&\mathsf{\underline{~~---}\underset{-4}{\bullet}\underline{----}\underset{1}{\bullet}\underline{+++~~}_{\blacktriangleright}}\\\\\\ \mathsf{(x+4)(x-1)}&\mathsf{\underline{~~+++}\underset{-4}{\bullet}\underline{----}\underset{1}{\bullet}\underline{+++~~}_{\blacktriangleright}} \end{array}$


Queremos que o produto do lado esquerdo de $\mathsf{(ii)}$ seja negativo. Logo, o intervalo de interesse é

$\mathsf{-4<x<1.}$


Conjunto solução:   $\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R}:~-4<x<1\}}$


ou em notação de intervalos,

$\mathsf{S=\left]-4,\,1\right[.}$


Bons estudos! :-)


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