Question

No triângulo ABC, retângulo em B, tem-se B = (-2,5) e C = (3,-4). Determine A, sabendo que é um ponto do eixo das ordenadas.​

Answer 1

As coordenadas do ponto A são (0, 55/9).

Podemos encontrar o ponto A sabendo que suas coordenas são (0, y). Se o triângulo é retângulo em B, então as retas que contém BC e AB são perpendiculares (o produto dos coeficientes angulares é -1).

A reta que contém BC é:

5 = -2m + n

-4 = 3m + n

Subtraindo a segunda da primeira:

9 = -5m

m(bc) = -9/5

Calculando o coeficiente angular de AB:

m(ab)·m(bc) = -1

m(ab) = -1/(-9/5)

m(ab) = 5/9

A reta que contém AB tem coeficiente angular 5/9 e cruza o eixo das ordenadas no ponto A, então:

y = (5/9)x + n

Substituindo o ponto B, temos:

5 = (5/9)·(-2) + n

n = 5 + 10/9

n = 55/9

Como y = n, temos que as coordenadas de A são (0, 55/9).

Answer 2

As coordenadas do ponto A é:

$\large \sf A \left( 0, \ \dfrac{55}{9} \right)$

• Veja figura anexa
• Se o ponto A está no eixo das ordenadas (y) então $\large \sf x_A$ é zero, e devemos determinar $\large \sf y_A$.

A(0, $\large \sf y_A$)

B(−2, 5)

C(3, −4)

• Se o triângulo é retângulo em B então podemos aplicar o teorema de Pitágoras: "Em todo triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos".

• A hipotenusa é o lado oposto ao vértice com ângulo reto (B), então:

$\large \sf d_{AC}^2 = d_{AB}^2 + d_{BC}^2$ ①

sendo $\large \sf d_{AC}, \ d_{AB} \ e \ d_{BC}$ as distâncias entre os vértices.

• A distância entre os pontos no plano cartesiano é obtida por:

$\large \sf d_{AC}^2 = (x_{C} - x_{A})^2 + (y_{C} - y_{A})^2$

$\large \sf d_{AB}^2 = (x_{B} - x_{A})^2 + (y_{B} - y_{A})^2$

$\large \sf d_{CB}^2 = (x_{B} - x_{C})^2 + (y_{B} - y_{C})^2$

• Substitua os valores nas equações.

$\large \sf d_{AC}^2 = (3 - 0)^2 + (-4 - y_{A})^2$

$\large \sf d_{AC}^2 = 9 + y_{A}^2 + 8y_A +16$

$\large \sf d_{AC}^2 = y_{A}^2 + 8y_A +25$

$\large \sf d_{AB}^2 = (-2 - 0)^2 + (5 - y_{A})^2$

$\large \sf d_{AB}^2 = 4 + y_{A}^2 -10y_A+25$

$\large \sf d_{AB}^2 = y_{A}^2 -10y_A+29$

$\large \sf d_{CB}^2 = (-2 - 3)^2 + (5 - (-4))^2$

$\large \sf d_{CB}^2 =25 + 81$

$\large \sf d_{CB}^2 =106$

• Substitua esses valores na equação ①.

$\large \sf d_{AC}^2 = d_{AB}^2 + d_{BC}^2$

$\large \sf y_{A}^2 + 8y_A +25 = y_{A}^2 -10y_A+29 + 106$

$\large \sf 8y_A +25 = -10y_A+29 + 106$

$\large \sf 18y_A = 29 + 106 -25$

$\large \sf 18y_A = 110$

$\large \sf y_A = \dfrac{110}{18}$

$\large \sf y_A = \dfrac{55}{9}$

• Escreva as coordenadas do ponto A.

$\large \sf A \left( 0, \ \dfrac{55}{9} \right)$

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