Question

Calculando a integral imprópria ∫∞−∞2x/(x2+1)2 dx, obteremos como resposta:
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Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos calcular o resultado da seguinte integral imprópria:

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\,dx$

Pode-se calcular facilmente o resultado desta integral sabendo que seu integrando é uma função ímpar e esta é uma integral simétrica. Porém, utilizaremos o método tradicional para o cálculo de integrais.

Faça uma substituição $u=x^2+1$. Diferenciamos a expressão em respeito à variável $x$:

$(u)'=(x^2+1)'$

Sabendo que $u=u(x)$, lembre-se que:

• A derivada de uma função $u=u(x)$ é dita implícita e calculada pela regra da cadeia: $(u)'=u'\cdot \dfrac{du}{dx}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante, de acordo com a regra acima, é igual a zero.

Assim, teremos:

$1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=(x^2)'+(1)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=2x$

Substituimos este elemento na integral. Lembre-se ainda de alterar os limites de integração: quando $x\rightarrow -\infty\Rightarrow u\rightarrow -\infty$ e quando $x\rightarrow \infty\Rightarrow u\rightarrow \infty$.

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\dfrac{du}{dx}}{u^2}\cdot dx}\\\\\\\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{du}{u^2}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$.
• A integral imprópria de um função é calculada de acordo com a regra acima, no caso particular: $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\underset{b\rightarrow \infty}{\lim}~\underset{a\rightarrow -\infty}{\lim}\int_a^b f(x)\,dx=\underset{b\rightarrow \infty}{\lim}~\underset{a\rightarrow -\infty}{\lim} F(x)\biggr|_a^b=\underset{b\rightarrow \infty}{\lim}~F(b)-\underset{a\rightarrow -\infty}{\lim}F(a)$.

Aplique a regra da potência

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}u^{-2}\,du}\\\\\\ \dfrac{u^{-2+1}}{-2+1}~\biggr|_{-\infty}^{\infty}\\\\\\ -\dfrac{1}{u}~\biggr|_{-\infty}^{\infty}\\\\\\ \underset{u\rightarrow \infty}{\lim}\left(-\dfrac{1}{u}\right)-\underset{u\rightarrow -\infty}{\lim}\left(-\dfrac{1}{u}\right)$

Calcule os limites, sabendo que $\underset{x\rightarrow \pm\infty}{\lim}\left(\dfrac{1}{x^p}\right)=0,~p>0$

$0-0\\\\\\ 0~~\checkmark$

Este é o resultado desta integral imprópria.