Question

Sabendo que o gráfico da função f(x) = ax + b é a
reta representada no plano cartesiano abaixo,
determine os valores de a e b.

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e solucionado podemos afirmar que:  $\textstyle \sf \sf a = 2/3$ e $\textstyle \sf \sf b = 2/3$ e com $\textstyle \sf \sf f(x) = 2x/3 +2/3$.

Determinação de uma função a partir do gráfico:

Uma função afim $\textstyle \sf \sf f(x) = ax +b$ quando conhecemos dois dos seus valores $\textstyle \sf \sf f(x_1)$ e  $\textstyle \sf \sf f(x_2)$ para quais quer $\textstyle \sf \sf x_1$ e $\textstyle \sf \sf x_2$ reais com $\textstyle \sf \sf x_1 \neq x_2$.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf P_1 (2, 2) \\ \sf P_2 (5, 4) \\ \sf a = \:? \\ \sf b = \: ? \\\sf f(x) = ax+b \end{cases} } }$

Do gráfico, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ f(x) = ax +b }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ f(2) = 2a +b }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 2a +b = 2 \quad (I) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ f (x) = ax +b }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ f(5) = 5a +b }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 5a +b = 4 \quad (II) }$

Pelo sistema de equação, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf 2a+ b = 2 \quad \times (-1) \\ \sf 5a + b = 4 \end{cases} } }$

Aplicando o método da adição, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \underline{ \begin{cases}\sf -2a - b = -2 \\ \sf 5a + b = 4 \end{cases} } } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3a = 2 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a = \dfrac{2}{3} }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 2a + b = 2 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 2 \cdot \dfrac{2}{3} +b = 2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{4}{3} +\dfrac{3b}{3} = \dfrac{6}{3} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 4 +3b = 6 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3b = 6 - 4 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3b = 2 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf b = \dfrac{2}{3} }$

Lei de formação da função do gráfico:

$\Large \displaystyle \mathsf{ f(x) = ax +b }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf f(x) = \dfrac{2x}{3} + \dfrac{2}{3} }$

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