(15 PONTOS) Encontre a integral indefinida:

$\displaystyle\int{\dfrac{dx}{e^{x}+1}}$

Respostas

respondido por: Anônimo

A resposta segue anexa.

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23/02/2016
Sepauto - SSRC
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Anexos:

Lukyo: Obrigado!

Anônimo: Por nada, tudo de bom.

Lukyo: Gostei do jeito que você fez...

Lukyo: Eu tinha somado e subtraído e^x no numerador e separado em duas frações...

Lukyo: O resultado que eu cheguei foi x - Ln[e^x + 1] + C.

Lukyo: É sempre bom saber fazer de mais de uma maneira.Muito obrigado por me fazer ver o problema de outra forma!! :-)

rebecaestivalete: Existe uma maneira mais fácil de resolver essa integral. ∫dx/(1+e^x). Quando vc divide 1 por 1+e^x vai concluir que 1+e^x) = 1 – (e^x)/1+e^x). Então pode-se afirmar que ∫dx/(1+e^x) = ∫1dx - ∫[e^xdx/(1+e^x)]. Fazendo separadamente fica ∫1dx = x e a ∫e^xdx/(1+e^x), por substituição é bem simples e igual a ln(1+e^x), pois o ´numerador é a derivada do denominador . No final é fácil perceber que ∫dx/(1+e^x) = ∫1dx - ∫[e^xdx/(1+e^x)] = x-ln|1+e^x| + c

respondido por: CyberKirito

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int\dfrac{dx}{e^x+1}=\int\dfrac{e^x}{e^x(e^x+1)}dx\\\underline{\rm fac_{\!\!,}a}\\\sf u=e^x\implies du=e^x~dx\\\displaystyle\sf\int\dfrac{e^x}{e^x(e^x+1)}dx=\int\dfrac{du}{u(u+1)}\\\sf\dfrac{1}{u\cdot(u+1)}=\dfrac{A}{u}+\dfrac{B}{u+1}\\\\\sf A=\dfrac{1}{u+1}\bigg|_{u=0}=\dfrac{1}{0+1}=1\\\\\sf B=\dfrac{1}{u}\bigg|_{u=-1}=\dfrac{1}{-1}=-1\\\displaystyle\sf\int\dfrac{du}{u\cdot(u+1)}=\int\bigg(\dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{u+1}\bigg)du\\\sf=\ell n|u|-\ell n|u+1|+k\\\\\displaystyle\sf\int\dfrac{du}{u\cdot(u+1)}du\\\sf=\ell n\bigg|\dfrac{u}{u+1}\bigg|+k\\\\\displaystyle\sf\int\dfrac{dx}{e^x+1}=\ell n\bigg|\dfrac{e^x}{e^x+1}\bigg|+k\end{array}}$