Question

Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja 2.500m3. O material da base vai custar R$ 1.200,00 por metro quadrado e o material dos lados R$980,00 por metro quadrado. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo.

Answer 1

As dimensões da caixa são: base de 15,98 × 15,98 m e altura 9,8 m.

• Determine a equação do custo da caixa em função da medida das arestas da base, em seguida obtenha a derivada dessa função e iguale-a a zero obtendo a medida da aresta para um custo mínimo.

Considere:

b: medida das arestas da base.

h: medida das arestas das laterais.

• Equação para cálculo da área da base:  $\large \sf A_B = b^2$

• Custo do material da base:  $\large \text { \sf C_B = 1200 \ R\ /m^2 }$

• Equação para cálculo do custo da base: $\large \sf C_B = 1200 \cdot b^2$

• Equação para cálculo da área da lateral:  $\large \sf A_L = 4\cdot b \cdot h$

• Custo do material das laterais:  $\large \text { \sf C_L = 980 \ R\ /m^2 }$

• Equação para cálculo do custo das laterais: $\large \sf C_L = 980 \cdot 4bh$

• O custo total é a soma dos custos da base e da lateral.

$\large \sf C = C_B + C_L$

C = 1200 ⋅ b² + 980 ⋅ 4 · bh

C = 1200 ⋅ b² + 3920 · bh ①

• O volume da caixa (2500 m³) é igual ao produto da área da base e altura. Determine a altura em função das arestas da base.

2500 = b² ⋅ h

$\large \sf h = \dfrac{2500}{b^2}$  ②

• Substitua o valor de h na equação ① e determine o custo em função da medida das arestas da base.

$\large \sf C(b) = 1200 \cdot b^2 + 3920 \cdot b\cdot \dfrac{2500}{b^2}$

$\large \sf C(b) = 1200 \cdot b^2 + 3920 \cdot \dfrac{2500}{b}$

$\large \sf C(b) = 1200 \cdot b^2 + \dfrac{98 \cdot 10^5}{b}$

• Determine o valor de b para o custo mínimo.
• O coeficiente angular da reta tangente à função em seu ponto de mínimo valor é igual a zero, portanto determine a derivada da equação, iguale-a a zero e determine sua solução para encontrar o valor de b para o custo mínimo.

$\large \sf C(b) = 1200 \cdot b^2 + \dfrac{98 \cdot 10^5}{b}$

$\large \sf C(b) = 1200 \cdot b^2 + 98 \cdot 10^5 \cdot b^{-1}$

$\large \sf \dfrac {dC}{ db} = 1200 \cdot 2 \cdot b - 98 \cdot 10^5 \cdot b^{-2}$

$\large \text { \sf \dfrac {dC}{ db} = 2400 \cdot b - \dfrac {98 \cdot 10^5}{b^{2}} }$

• Iguale a zero equação obtida e determine b para o custo mínimo.

$\large \text { \sf 2400 \cdot b - \dfrac {98 \cdot 10^5}{b^{2}} = 0 }$

$\large \text { \sf 2400 \cdot b = \dfrac {98 \cdot 10^5}{b^{2}} }$

$\large \sf 2400 \cdot b^3 = 98 \cdot 10^5$

$\large \sf b^3 = \dfrac {98 \cdot 10^5}{2400} = \dfrac {12250}{3}$

$\large \text { \sf b = \sqrt[3]{\dfrac {\sf 12250}{\sf 3}} }$

b = 15,98 m

• Substitua o valor de b na equação ② e determine a medida da altura (h) da caixa.

$\large \sf h = \dfrac{2500}{b^2}$

$\large \text { \sf h = \dfrac {2500} { \left( \sqrt[3]{\dfrac {\sf 12250}{\sf 3}} \right)^2} }$

h = 9,7858 m

As dimensões da caixa são 15,98 × 15,98 × 9,8 m.

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