Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja 2.500m3. O material da base vai custar R$ 1.200,00 por metro quadrado e o material dos lados R$980,00 por metro quadrado. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo.
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As dimensões da caixa são: base de 15,98 × 15,98 m e altura 9,8 m.
- Determine a equação do custo da caixa em função da medida das arestas da base, em seguida obtenha a derivada dessa função e iguale-a a zero obtendo a medida da aresta para um custo mínimo.
Considere:
b: medida das arestas da base.
h: medida das arestas das laterais.
- Equação para cálculo da área da base:
- Custo do material da base:
- Equação para cálculo do custo da base:
- Equação para cálculo da área da lateral:
- Custo do material das laterais:
- Equação para cálculo do custo das laterais:
- O custo total é a soma dos custos da base e da lateral.
C = 1200 ⋅ b² + 980 ⋅ 4 · bh
C = 1200 ⋅ b² + 3920 · bh ①
- O volume da caixa (2500 m³) é igual ao produto da área da base e altura. Determine a altura em função das arestas da base.
2500 = b² ⋅ h
②
- Substitua o valor de h na equação ① e determine o custo em função da medida das arestas da base.
- Determine o valor de b para o custo mínimo.
- O coeficiente angular da reta tangente à função em seu ponto de mínimo valor é igual a zero, portanto determine a derivada da equação, iguale-a a zero e determine sua solução para encontrar o valor de b para o custo mínimo.
- Iguale a zero equação obtida e determine b para o custo mínimo.
b = 15,98 m
- Substitua o valor de b na equação ② e determine a medida da altura (h) da caixa.
h = 9,7858 m
As dimensões da caixa são 15,98 × 15,98 × 9,8 m.
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