Question

alguém faz a 103 pra mim por favor. s={xER|x=(-2pi/3)+4kpi ou x=(4pi/9)-4kpi/3, k E Z

Answer 1

$\bullet\;\;$ Para resolver esta equação, utilizarei a seguinte identidade:

(Seno da diferença entre dois arcos)

$\mathrm{sen}(a-b)=\mathrm{sen\,} a\cdot \cos b-\mathrm{sen\,}b \cdot \cos a\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Resolver a equação:

$\dfrac{1}{2}\cdot \mathrm{sen\,}\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos\dfrac{x}{2}=\mathrm{sen\,}x\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


Sabemos que

$\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\;\;\;\text{ e }\;\;\;\mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$


Substituindo os valores acima na equação $\mathbf{(ii)},$ temos

$\cos \dfrac{\pi}{3}\cdot \mathrm{sen\,}\dfrac{x}{2}-\mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{3}\cdot \cos\dfrac{x}{2}=\mathrm{sen\,}x$


Ora, a expressão do lado esquerdo da igualdade acima é obtida fazendo

$a=\dfrac{x}{2}\;\;\;\text{ e }\;\;\;b=\dfrac{\pi}{3}$

na identidade $\mathbf{(i)}.$


Então, podemos substituir o lado esquerdo da equação, obtendo assim

$\mathrm{sen}\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3} \right )=\mathrm{sen\,}x\;\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$


que é uma equação equivalente à que foi proposta nesta questão. Esta é mais simples de resolver, pois é uma igualdade entre senos.


Para que os dois arcos da equação $\mathbf{(iii)}$ tenham senos iguais, devemos ter

$\begin{array}{rcl} \dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}=x+2k\pi&\;\;\text{ ou }\;\;&\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}=(\pi-x)+2k\pi \end{array}$


Para eliminar os denominadores, vamos multiplicar todos os membros por $6:$

$\begin{array}{rcl} 6\cdot \left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3} \right )=6\cdot (x+2k\pi)&\;\;\text{ ou }\;\;&6\cdot \left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right)=6\cdot \left[(\pi-x)+2k\pi \right ]\\ \\ 3x-2\pi=6x+12k\pi&\;\;\text{ ou }\;\;&3x-2\pi=6\cdot (\pi-x)+12k\pi\\ \\ 6x-3x=-2\pi-12k\pi&\;\;\text{ ou }\;\;&3x-2\pi=6\pi-6x+12k\pi\\ \\ 3x=-2\pi-12k\pi&\;\;\text{ ou }\;\;&3x+6x=6\pi+2\pi+12k\pi\\ \\ 3x=-2\pi-12k\pi&\;\;\text{ ou }\;\;&9x=8\pi+12k\pi \end{array}$


Finalmente, chegamos a

$\boxed{\begin{array}{rcl} x=-\dfrac{2\pi}{3}-4k\pi&\;\;\text{ ou }\;\;&x=\dfrac{8\pi}{9}+\dfrac{4k\pi}{3} \end{array}}\\ \\ \\ \text{com }k\text{ inteiro.}$

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Obs.: A resposta acima está correta, embora esteja escrita de forma diferente da que está no gabarito. :-)

Bons estudos!!!