Question

Um pedaço de fio, com 22 metros de comprimento, é cortado em duas partes cujos comprimentos são a e 22 − a. Com a primeira parte, forma-se um quadrado, já com a segunda parte, forma-se um círculo. Sendo assim, expresse, como função de a, a soma das áreas formadas.
ALGUÉM ME AJUDA, POR FAVOR!!!!

Answer 1

A expressão/equação que define a soma das duas figuras geométricas é $\dfrac{1936-176a+(4+\pi)a^2}{16\pi}$

Vamos dividir este exercício em 3 partes:

1. Área do Quadrado;
2. Área do Círculo;
3. Soma de ambos;

Área do Quadrado

Sabemos que um fio de comprimento $a$ vai ser utilizado para construir um quadrado.

Vamos pensar sobre isso. Se o fio vai ser utilizada para construir um quadrado então ele vai corresponder ao Perímetro do quadrado. Acho que podemos todos concordar nesse ponto.

Então podemos dizer que:

$P_{\mathsf{Quadrado}}=a$

O perímetro mede $a$.

Nós queremos saber a área em função da medida $a$, e para sabermos a Área do Quadrado precisamos da medida do lado, porque:

$A_{\mathsf{Quadrado}}=\mathsf{lado}\times\mathsf{lado}$

E como é que podemos ir buscar o lado?

Sabemos que o Perímetro de um quadrado é:

$P_{\mathsf{Quadrado}}=4\times{\mathsf{lado}$

Logo,

$\mathsf{Se~}P_{\mathsf{Quadrado}}=a\mathsf{~~e~}P_{\mathsf{Quadrado}}=4\times\mathsf{lado}\mathsf{~,~logo:}\\\\a=4\times\mathsf{lado}$

Agora nós queremos saber a medida do lado, então como chegamos a esta equação podemos isolar o lado, para obter a sua medida:

$a=4\times\mathsf{lado}~(=)\\\\\dfrac{a}{4} =\mathsf{lado}$

(Não esquecer que numa equação quando algo esta a multiplicar de um lado, passa para o outro a dividir)

Certo agora que sabemos a medida do lado, basta substituir na fórmula da Área para descobrirmos a mesma, assim:

$A_{\mathsf{Quadrado}}=\mathsf{lado}\times\mathsf{lado}~(=)\\\\A_{\mathsf{Quadrado}}=\dfrac{a}{4} \times\dfrac{a}{4} (=)\\\\A_{\mathsf{Quadrado}}=\dfrac{a\times a}{4\times4}(=)\\\\A_{\mathsf{Quadrado}}=\dfrac{a^2}{16}$

Então descobrimos que a Área do Quadrado é $\dfrac{a^2}{16}$.

Área do Círculo

Tal como no quadrado, sabemos que um fio de medida $22-a$ vai ser utilizado para construir um círculo, logo essa medida corresponde ao Perímetro:

$P_{\mathsf{Circulo}}=22-a$

Se queremos a Área do Círculo precisamos do raio, porque:

$A_{\mathsf{Circulo}}=\pi\times \mathsf{raio}^2$

Sabemos também que o perímetro de qualquer círculo é dado pela expressão:

$P_{\mathsf{Circulo}}=2\pi \times \mathsf{raio}$

Logo,

$\mathsf{Se~}P_{\mathsf{Circulo}}=22-a \mathsf{~~e~}P_{\mathsf{Circulo}}=2\pi\times \mathsf{raio}\mathsf{~,~logo:}\\\\22-a=2\pi\times \mathsf{raio}$

E se queremos saber o raio, basta isola-lo nesta equação:

$22-a=2\pi\times \mathsf{raio}~(=)\\\\\dfrac{22-a}{2\pi} =raio$

(Não esquecer que numa equação quando algo esta a multiplicar de um lado, passa para o outro a dividir)

Certo agora que sabemos a medida do lado, basta substituir na fórmula da Área para descobrirmos a mesma, assim:

$A_{\mathsf{Circulo}}=\pi\times \mathsf{raio}^2(=)\\\\A_{\mathsf{Circulo}}=\pi\times (\dfrac{22-a}{2\pi})^2 (=)\\\\A_{\mathsf{Circulo}}=\pi\times \dfrac{(22-a)^2}{(2\pi)^2} (=)\\\\A_{\mathsf{Circulo}}=\diagup\!\!\!\!\!\pi\times \dfrac{22^2-2\times22\times a+a^2}{4\pi^{\diagup \!\!\!\!2}} (=)\\\\A_{\mathsf{Circulo}}= \dfrac{484-44a+a^2}{4\pi}$

(Não esquecer que para resolver a expressão $\emph{(22-a)}^2$, eu utilizei o Quadrado da Diferença que diz que $\emph{(a-b)}^2\emph{=a}^2\emph{-2ab+b}^2$)

Então descobrimos que esta é a Área do Círculo.

Soma de Ambos

Vamos então proceder à soma:

$\dfrac{a^2}{16_{(\times\pi )}} +\dfrac{484-44a+a^2}{4\pi_{(\times4 )}}=\\\\\\\dfrac{\pi a^2}{16\pi} +\dfrac{4\times(484-44a+a^2)}{16\pi}=\\\\\\\dfrac{\pi a^2}{16\pi} +\dfrac{1936-176a+4a^2}{16\pi}=\\\\\\\dfrac{\pi a^2+1936-176a+4a^2}{16\pi}=\\\\\\\dfrac{1936-176a+(4+\pi)a^2}{16\pi}$

Logo a soma de ambos é a dada expressão acima.

Resumindo, só tivemos que jogar algebricamente com as informações que nos foram dadas até chegarmos ao resultado do exercício.

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