Question

continuidade implica diferenciabilidade?

Answer 1

A resposta é não.

Um exemplo clássico de uma função que é contínua, mas não é diferenciável é a função modular:

$f(x)=|x|=\left\{\begin{array}{rl} x,&\text{se }x\geq 0\\ -x,&\text{se }x<0 \end{array} \right.$

Esta função é contínua em $x=0,$ mas não é diferenciável em $x=0.$

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Obs.: A recíproca é verdadeira, isto é, diferenciabilidade implica continuidade:

Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua neste ponto.