Question

A produção de Q de uma certa fabrica está relacionadas aos insumos x e y através da equação Q= x² + 2xy² + 2y³ se os valores atuais dos insumos sao x=10 e y=20 ,use os metodos de calculo para estimar qual vai ser a variação do insumo y para compensar um aumento de 0,5 no insumo de x e manter a produção constante.

Answer 1

dados
$\bmatrix Q=x^2+2xy^2+2xy^3 \\\\ x=10\;,y=20\to \text{valores atuais}\\\\dx = 0,5 \to \text{acrescimo em x} \\\\ dQ=0 \to \text{a producao nao varia, se mantem constante} \end$

usando o diferenial total

$\boxed{\boxed{dZ= \frac{\partial Z}{\partial x}*dx + \frac{\partial Z}{\partial y}*dy }}$

faremos isso para encontrar dy

$Q=x^2+2xy^2+2xy^3 \\\\ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x+2y^2+2y^3\\\\ \frac{\partial Q}{\partial y}= 0 + 4xy + 6xy^2$

resolvendo
$dQ= (2x+2y^2+2y^3)*dx + ( 4xy + 6xy^2)*dy\\\\ \boxed{\boxed{ \frac{dQ- (2x+2y^2+2y^3)*dx}{ ( 4xy + 6xy^2)}= dy }}$

substituindo os valores
$\frac{0- (2*10+2*20^2+2*20^3)*0,5}{ ( 4*10*20 + 6*10*20^2)}= dy\\\\ -0,34 = dy$