Question

Responda os itens com respeito `a integral $I = 2 \pi\ \int\limits^{\pi /2}_0} {x} \, cos(x)\ dx .$

a) Utilize a formula de integração por partes fazendo u=x e dv= cos(x)dx e determine o valor da integral.

b) Utilize a fórmula de integração por partes fazendo u = cos(x) e dv = xdx e comente por que essa escolha não é boa.

c) A integral I representa o volume de um sólido gerado pela de revolução de uma região, em torno do eixo Oy. Descreva as curvas que demilitam essa região no plano.

Answer 1

Antes de qualquer coisa, irei fazer uma breve demostração simples daonde vem a integração por partes, sem muito rigor apenas para pegar a ideia central, a integração por partes é utilizada para "desfazer" uma regra do produto de derivação, regra essa que é

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left(f(x)g(x)\right)' =f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\end{gathered}$

Agora vamos fazer o operador integral nos dois lados, teremos

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \left(f(x)g(x)\right)'\,dx = \int f'(x)\cdot g(x)\,dx + \int f(x)\cdot g'(x)\,dx\end{gathered}$

Agora podemos simplificar a integral da esquerda, pois integral da derivada de uma função é a própria função, dito isso ficamos com

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x)g(x) = \int f'(x)\cdot g(x)\,dx + \int f(x)\cdot g'(x)\,dx\end{gathered}$

Pronto! aqui de fato já temos a cara da integral por partes, podemos ainda simplicificar a adotar algumas nomeclaturas, como

                                $\Large\displaystyle\begin{aligned}&u = f(x) \Rightarrow &du = f'(x)\,dx\\ \\&v = g(x) \Rightarrow &dv = g'(x)\,dx\\ \\\end{aligned}$

Portanto temos que

                                      $\Large\displaystyle\begin{aligned}uv = \int v\,du + \int u\,dv\end{aligned}$

Ou como costumamos escrever:

                                       $\Large\displaystyle\begin{aligned} \int u\,dv = uv -\int v\,du\end{aligned}$

Agora vamos de fato ao exercício.

a)

                                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}I =2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos(x)\,dx\\ \\\end{aligned} }$

Fazendo a sugestão do enunciado podemos escrever como

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}I =2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos(x)\,dx = 2\pi\left(uv - \int v\,du\right)\end{aligned} }$

A integral de cos(x) é sin(x), portanto no primeiro termo temos

                     $\Large\displaystyle\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx = x\sin(x) - \int \sin(x)\,dx\\ \\\end{aligned}$

Por fim:

                    $\Large\displaystyle\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx = x\sin(x) +\cos(x) + C\\ \\\end{aligned}$

Não vamos esquecer de multiplicar por 2π

               $\Large\displaystyle\begin{aligned}I = 2\pi\int x\cos(x)\,dx = 2\pi\left(x\sin(x) +\cos(x)\right)\\ \\\end{aligned}$

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo

                                $\Large\displaystyle\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x)\,dx= F(b) - F(a) \end{aligned}$

Então aplicando Teorema Fundamental do Cálculo para achar o volume:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}I = 2\pi\left(\frac{\pi}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) +\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - 2\pi\left(0\sin(0) +\cos(0)\right)\\ \\ \boxed{I = \pi^2-2\pi = \pi(\pi-2)}\end{gathered}$

b)

Fazendo a substituição sugerida pelo enunciado vamos chegar na integral

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\cos(x) + \underbrace{\frac{1}{2}\int x^2\sin(x)\,dx}_{\text{ integral por partes}}\end{aligned} }$

Ou seja, entrariamos num loop, por isso essa não é uma boa escolha, em geral, as trigonométricas e exponenciais são as últimas que devemos escolher para u.

c)

O tipo de integral utilizada demonstra que era o método das cascas, ou seja, o volume V de uma função f em torno do eixo y é dado por

                                    $\Large\displaystyle\begin{aligned}V = 2\pi\int_{a}^{b}xf(x)\,dx\end{aligned}$

então nossa função f é f(x) = cos(x), essa é nossa curva, se quisermos podemos parametrizar essa curva como:

                             $\Large\displaystyle\begin{aligned}\gamma(t) = \left(t, \cos(t)\right) \quad t\in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\end{aligned}$

E o sólido é a revolução dessa curva em torno do eixo y.

Ou então podemos escrever na forma de função da seguinte maneira:

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}f:D \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ \\f(x) = \cos(x)\\ \\\end{gathered}$

Onde D é o intervalo da reta real [0, π/2]

E ambas estão limitadas inferiormente pela reta y = 0.

Veja o sólido em anexo, parece uma antena parabólica.

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/23476059

brainly.com.br/tarefa/43508783