Question

As posições de duas partículas num instante t segundos são dadas por s1(t)=3t^3-12t^2+18t metros e s2(t)=-t^3+9t^2-12t metros. Em que instante as partículas terão a mesma velocidade? Quais são as respectivas posição neste instante? ​

Answer 1

Olá, boa tarde.

As posições de duas partículas num instante $t$ segundos são dadas por $S_1(t)=3t^3-12t^2+18t$ metros e $S_2(t)=-t^3+9t^2-12t$ metros. Devemos determinar:

a) O instante em que as velocidades destas partículas são iguais

Primeiro, lembre-se que a função velocidade é igual a derivada temporal da função posição, isto é: $v(t)=\dfrac{d}{dt}(S(t))$.

Então, calculamos as funções velocidade de ambas as partículas:

$v_1(t)=\dfrac{d}{dt}(S_1(t))=\dfrac{d}{dt}(3t^3-12t^2+18t)\\\\\\ v_2(t)=\dfrac{d}{dt}(S_2(t))=\dfrac{d}{dt}(-t^3+9t^2-12t)$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada é um operador linear, logo vale que: $\dfrac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\dfrac{d}{dx}(f(x))+\dfrac{d}{dx}(g(x))$ e $\dfrac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot\dfrac{d}{dx}(f(x))$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• A potência $t=t^1$.

Aplique a linearidade

$v_1(t)=3\cdot\dfrac{d}{dt}(t^3)-12\cdot\dfrac{d}{dt}(t^2)+18\cdot\dfrac{d}{dt}(t)\\\\\\ v_2(t)=-\dfrac{d}{dt}(t^3)+9\cdot\dfrac{d}{dt}(t^2)-12\cdot\dfrac{d}{dt}(t)$

Aplique a regra da potência

$v_1(t)=3\cdot3\cdot t^{3-1}-12\cdot2\cdot t^{2-1}+18\cdot1\cdot t^{1-1}\\\\\\ v_2(t)=-3\cdot t^{3-1}+9\cdot2\cdot t^{2-1}-12\cdot1\cdot t^{1-1}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$\boxed{v_1(t)=9t^2-24t+18}\\\\\\ \boxed{v_2(t)=-3t^2+18t-12}$

Então, igualamos as funções velocidade:

$v_1(t)=v_2(t)\\\\\\ 9t^2-24t+18=-3t^2+18t-12$

Subtraia $-3t^2+18t-12$ em ambos os lados da igualdade

$12t^2 - 42t + 30=0$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $6$

$2t^2-7t+5=0$

Esta é uma equação quadrática de coeficientes reais da forma $ax^2+bx+c=0,~a\neq0$. Suas soluções são calculadas pela fórmula resolutiva: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Substituindo os coeficientes na fórmula resolutiva, temos:

$t=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 2\cdot 5}}{2\cdot 2}$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$t=\dfrac{7\pm\sqrt{49-40}}{4}\\\\\\ t=\dfrac{7\pm\sqrt{9}}{4}$

Calcule o radical, sabendo que $9=3^2$

$t=\dfrac{7\pm\sqrt{3^2}}{4}\\\\\\ t=\dfrac{7\pm3}{4}$

Separe as soluções, some os valores e simplifique as frações

$t=\dfrac{7-3}{4}~~\bold{ou}~~t=\dfrac{7+3}{4}\\\\\\\Rightarrow t=1~~\bold{ou}~~t=\dfrac{5}{2}$

Estes são os instantes para os quais as velocidades das partículas é a mesma.

b) As respectivas posições dos móveis nestes instantes

$S_1(1)=3\cdot1^3-12\cdot1^2+18\cdot 1=9~\bold{m}\\\\\\ S_2(1)=-1^3+9\cdot1^2-12\cdot1 = -4~\bold{m}\\\\\\ S_1\left(\dfrac{5}{2}\right)=3\cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)^3 - 12\cdot\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 +18\cdot\dfrac{5}{2} = \dfrac{135}{8}~\bold{m}\\\\\\ S_1\left(\dfrac{5}{2}\right)=-\left(\dfrac{5}{2}\right)^3+9\cdot\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 -12\cdot\dfrac{5}{2} = \dfrac{85}{8}~\bold{m}$

Estas são as respostas para estas questões.