Question

quantos quadrados perfeitos existem entre 123 e 4567

Answer 1

Um quadrado perfeito é o número que possui uma raiz inteira, como o $36=6^2$

Acima de 123 temos o já conhecido 144, cuja raiz quadrada é igual a 12, uma vez que 11 ao quadrado é igual 121, portanto:

$12^{2}=144$
logo, 144 é o primeiro quadrado perfeito do intervalo dado.
Agora vamos achar o último quadrado perfeito, que é igual ao maior quadrado perfeito antes do limite superior do intervalo: 4567:

$60^2=3600$
$70^{2}=4900$
Como $4567$ está mais próximo de 4900, então o último quadrado perfeito deve estar mais próximo de $70^2$ do que de $60^2<span>$:

$66^2=3600+2(360)+36=4356$
$67^{2}=3600+2(420)+49=4489$
$68^{2}=3600+2(480)+64=4624$

Então o último quadrado perfeito é 4489, que corresponde ao quadrado de 67. Basta então calcularmos o intervalo dos números que produzem os quadrados perfeitos, dentro do intervalo, que é:
$67-11=56$

Por que 11 e não 12? porque se eu subtrair de 12, estarei eliminando da conta esse cálculo. Como ele está incluído entre 11 e 67 este deverá ser contado também.

Answer 2

Resposta:56, são 56 quadrados perfeitos entre 123 e 4567