Question

Uma janela normanda tem um formato de um retângulo em cima do qual se coloca um semicírculo. Se o perímetro da janela for de 10 m, expresse a área A da janela como uma função de sua largura x:

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Olá @Ivanildoleiteba

Temos com $x$ a largura do rectângulo , então vamos adoptar $y$ para o comprimento do mesmo .

Então sabemosque o perímetro da JANELA é de $10m$ , sabendo que o perímetro do rectângulo é dado por :

$~~~~~~~\boxed{ p~=~2(x + y) }$

Substituindo podemos ter :

$\iff ~ 10~=~2(x + y)$

$\iff ~ x+y~=~\dfrac{10}{2}~=~5$

$\iff ~ y~=~5 - x$

Achando a área do rectângulo :

$~~~~~~\boxed{ A~=~xy }$

Substituindo o y, vamos ter :

$\iff ~ A~=~x(5 - x)$

Perceba que a área da JANELA será a área do rectângulo somado com a área do semi-círculo , Vamos agora achar a área do semi-círculo :

$~~~~~~\boxed{ A'~=~ \dfrac{\pi*r^2}{2} }$

$\iff A'~=~\dfrac{\pi*\left(\frac{x}{2}\right)^2}{2} ~=~\dfrac{\frac{\pi*x^2}{4}}{2}$

$\iff A'~=~\dfrac{\pi*x^2}{8}$

Agora a área da JANELA será :

$~~~~~~~\boxed{ A_{j}~=~A + A' }$

$\iff ~ A_{j}~=~ 5x - x^2 + \dfrac{\pi*x^2}{8}$

$\green{ \iff \boxed{\boxed{ A_{j}~=~x^2\left( \dfrac{\pi-8}{8}\right) + 5x } } }$

ESPERO TER AJUDADO BASTANTE!)