Question

Função geratriz de 0,1666...

Answer 1

Olá,

100x = 16,666...
10x = 1,666...

100x-10x = 16,666... - 1,666...
90x = 15
x = 15/90
x = 1/6
Resposta:

1/6

Answer 2

$x=0,1666\ldots\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Multiplicando por $10$ os dois lados da igualdade acima, temos

$10x=1,6666\ldots\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


Subtraindo $\mathbf{(ii)}-\mathbf{(i)},$ temos

$10x-x=1,6\mathbf{666\ldots}-0,1\mathbf{666\ldots}$


Na subtração, a parte periódica destacada em negrito se cancela, e ficamos apenas com

$10x-x=1,6-0,1\\ \\ 9x=1,5$


Queremos trabalhar apenas com números inteiros. Então, vamos multiplicar os dois lados da equação acima por $10,$ para eliminar os decimais:

$90x=15\\ \\ x=\dfrac{15}{90}$


O mdc entre $15$ e $90$ é $15.$ Portanto, podemos simplificar a fração obtida:

$x=\dfrac{15}{90}\begin{array}{c}^{\div 15}\\^{\div 15} \end{array}\\ \\ \\ x=\dfrac{1}{6}\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;\boxed{\begin{array}{c}0,1666\ldots=\dfrac{1}{6} \end{array}}$