Question

Entre as alternativas a seguir a única verdadeira é:

 

a)      Um número par e um número impar sempre são dois primos entre si.

 

b)      Existem números inteiros a e b, tais que mdc(a,b)= 120 e mmc(a,b)- 2100

 

c)      O maior número primo que divide 1820 e também divide 2184 é o 7.

 

d)      Se dois números naturais a e b satisfazem 7 x a – 3 x b= 2, então mdc(a,b)=2.

 

e)      Se mdc(a,b)= 3, então mdc(a²,b³)=9

 

 

Ajudem!! :)

Answer 1

a) Falsa. Um exemplo é $\text{mdc}(15, 10)=5$.

 

b) Falsa. Se existem tais inteiros, então, a equação $120\text{x}+120\text{y}=2~100$, possui soluções inteiras. Entretanto, $\text{mdc}(1,20, 120)=120$ e $120~|~2~100$, logo, a equação em questão não possui soluções inteiras e, portanto não existem tais inteiros.

 

c) Falso. Observe que $1~820=2^2\times5\times7\times13$ e $2~184=2^3\times3\times7\times13$, logo, o maior primo que divide $1~820$ e $2~184$ é $13$.

 

d) Falsa. Temos a equação $7\text{a}-3\text{b}=2$, uma solução particular é $(\text{a}_0, \text{b}_0)=(2, 4)$, então, as soluções gerais são da forma $\text{a}=2-3\text{t}$ e $\text{b}=4-7\text{t}$. Os naturais que satisfazem tal equação são:

 

$\text{a}=2, 5, 8, 11, \dots$

 

$\text{b}=4, 11, 18, \dots$

 

Logo, $\text{mdc}(\text{a}, \text{b})$ nem sempre é $2$.

 

e) Verdadeira. Se $\text{mdc}(\text{a}, \text{b})=3$, podemos escrever: $\text{a}=3\text{q}$ e $\text{b}=3\text{k}$, logo:

 

$\text{mdc}(\text{a}^2, \text{b}^3)=\text{mdc}(9\text{q}^2, 27\text{k}^3)=9$