Question

O vetor v é ortogonal aos vetores u = (1, 2, 0) e w = (2, 0, 1) e forma um ângulo agudo com o vetor j = (0, 1, 0). Determine o vetor v.

Answer 1

Temos os seguintes vetores:

$u = (1, 2, 0) , \: w = (2, 0, 1) \: e \: j = (0, 1, 0)$

A questão nos diz que um vetor "v" é perpendicular aos vetores u e w. Para que possamos achar esse vetor, vamos primeiro nomear o vetor "v" de forma genérico, então digamos que $v = (a,\:b,\:c)$. Para um vetor ser perpendicular ao outro, basta o produto escalar ser igual a "0". Fazendo isso temos que:

$u \: \cdot \: v = 0 \: \: e \: \: v \: \cdot \:w = 0$

Primeiro vamos fazer o produto escalar de u . v:

$v \: \cdot \: u\: = (a, \: b, \: c) \: \cdot \: (1, \: 2, \: 0) = 0\\ a.1 + b.2 + c.0 = 0 \\ a + b = 0$

Agora vamos fazer o produto de v . w:

$v \: \cdot \: w\: = (a, \: b, \: c) \: \cdot \: (2, \: 0, \: 1) = 0\\ a.2 + b.0 + c.1 = 0 \\ 2a + c = 0$

Vamos guardar essas informações, agora vamos calcular o ângulo entre o vetor j e o v, para isso vamos lembrar da fórmula, que é:

$\cos( \theta )= \frac{u \: \cdot \: v}{ | |u| | \: \cdot \: | |v| | }$

Substituindo o vetor v, j e a informação de que o ângulo é agudo, ou seja, 90°:

$\cos ( 90 {}^{o} ) = \frac{ (a, \: b, \: c) \: \cdot \:(0, \: 1, \: 0)}{ | |(a, \: b, \: c)| | \: \cdot \: | |(0, \: 1, \: 0)| | } \\ \\ 0 = \frac{ (a, \: b, \: c) \: \cdot \:(0, \: 1, \: 0)}{ | |(a, \: b, \: c)| | \: \cdot \: | |(0, \: 1, \: 0)| | } \\ \\0 = (a, \: b, \: c) \: \cdot \: (0, \: 1, \: 0) \\ \\ a.0 + b.1 + c.0 = 0 \\ \\ b = 0$

Como sabemos o valor de "b", então vamos substituir essa informação nas outras equações:

$a + b = 0 \: \to \: a + 0 = 0 \: \to \: a = 0$

Substituindo o valor de a e b na segunda relação:

$2.0+ c = 0 \: \to \: 0 + c = 0 \: \to \: c = 0$

Portanto temos que o vetor é basicamente o vetor que representa a origem, e como sabemos, o vetor origem é perpendicular a qualquer outro vetor, portanto podemos concluir que:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \boxed{v = (0,0,0)}}$

Espero ter ajudado