Question

Quais desses números são irracionais?

0,213456.. 0,777.. 5,232323... 3,14159265.. 0,171771.. -√5. 1,41421.. 0,363636.. 0,565655655.. 3,14159265.. 8,121222.. 9,5321532153

Answer 1

Uma das situações mais comuns que os professores mostram (não confunda com demonstram) aos seus alunos, para justificar esse fato, é aquele famoso cálculo trivial.


Assim: 


Faça X = 0,999...


Se X = 0,999..., então 10.X = 9,999...(aplicando o princípio multiplicativo)


Agora, subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos:


9.X = 9,000...


Resolvendo essa simples equação chegamos em:


X = 1.  Mas X não era igual a 0,999...?



Um outro argumento que podemos usar para mostrar esse fato, é usando um outro número decimal como base de teoria.


Assim:  


O número 0,1111... = 09/01, certo? 


Multiplicarmos ambos os lados por 9, obtemos 0,9999 ... = 1.


Você pode também mencionar que com outros argumentos semelhantes, a cada número racional com uma expansão decimal. 


Por exemplo, o número racional 20/07 ("/" traço da fração) pode ser representado como 0,35, que é o mesmo que 0,35000... ou0,34999...


Muitos alunos não entendem bem esses argumentos e acham que é algum tipo de mágica, sem fundamento algum, uma vez que eles não têm uma ideia clara do que uma expansão decimal representa. Não acredito que um número pode ter duas representações diferentes.


Podemos tentar esclarecer isso explicando o que significa uma representação decimal. Lembre-se que o dígito em cada lugar de uma expansão decimal é associado com uma potência (positiva ou negativa) de 10. O espaço ocupado pelo k-ésimo à esquerda do decimal corresponde à potência 10k O espaço pelo k-ésimo à direita do decimal corresponde à potência 10-k ou (1/10)k.


Se os dígitos em cada lugar são multiplicados por sua potência correspondente de 10, e, em seguida, somados, obtém-se o número real que é representado por essa expansão decimal.


Assim, a expansão decimal 0,9999... na verdade, representa a soma infinita 10/09 + 9 / 100 + 9 / 1000 + 9 / 10000 + ... que pode ser resumido como uma série geométricapara obter o número 1. Note-se que tem uma representação decimal 1,000... que é apenas1 + 0 / 10 + 0 / 100 + 0 / 1000 + ... por isso, se percebe que as expansões decimais são apenas um código para uma soma infinita, pode ser menos surpreendente que duas somas infinitas pode ter a mesma soma.


Portanto 0,999... = 1.

Answer 2

números irracionais são aqueles ondes as dìzimas ñ são periodicas ( depois da vírgula ñ há numeros que seguem a mesma sequência ) como 3,535783 e raìzes quadradas negativas