Question

Resolver a equação diferencial homogênea a seguir utilizando a substituição

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

$\left(3x^2-y^2\right)dy=2xydx$

Fazendo:

$u = \frac{y}{x} => y = ux\, e \, dy = udx + x du\\(3x^2 - y^2)dy = 2xy \, dx\\(3x^2 - (ux)^2) (udx + xdu) = 2xux\, dx\\(3x^2 - u^2 x^2)(udu + xdu) = 2ux^2\, dx\\(3 - u^2)x^2(udx+xdu) = 2ux^2\, dx \,\,(:x^2)\\(3 - u^2) (udx+xdu) = 2u\, dx$

Agrupando por diferenciais

$(3x-u^2x)du= (u^3-u)dx\\(3-u)x\,du=(u^3-u)dx\\(3-u)\,du=(u^3-u)\frac{dx}{u}$

$(u^3 -u) = u(u-1)(u+1)\\(\frac{3}{u(u-1)(u+1)} - \frac{u}{(u-1)(u+1)} )du = \frac{dx}{x} \\\\\int\limits{(\frac{3}{u(u-1)(u+1)} - \frac{u}{(u-1)(u+1)} )} \, du =\int\limits { \frac{dx}{x}}\\-\int\limits {\frac{u}{(u-1)(u+1)} \, du + \int\limits {\frac{3}{u(u-1)(u+1)} \, du = ln(x) +C$

$-\frac{ln(u^2-1)}{2} -3ln(u)+ \frac{3ln(u+1)}{2} +\frac{3ln(u-1)}{2} = ln(x) + C$

Usando:

$e^{ln \alpha } = \alpha$

$\frac{(u-1)^\frac{3}{2} (u+1)^\frac{3}{2} }{u^3 \sqrt{u^2-1} } = e^{C} \,x$

Desfazendo a substituição u = y/x

$\frac{x^3(\frac{y}{x} -1)(\frac{y}{x}+1) }{y^3} = C \,x\\\frac{x^3(\frac{y^2}{x^2}-1) }{y^3} = C \,x\\ \frac{(y^2x)-x^3 }{y^3}= C \,x \\\frac{x}{y} -\frac{x^3}{y^3} = C \,x$