Question

Encontre a série a partit da sua soma:
SN= 2n/3n +1
Sn=n^2/n+1

Answer 1

Por definição, sabemos que

$S_{n}=a_{n_{0}}+a_{n_{0}+1}+\ldots+a_{n-1}+a_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n_{0}}^{n}{a_{k}}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


onde $n_{0}$ é um número natural $(n_{0}\geq 1),$ tal que

$S_{n_{0}-1}=0\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


É de extrema importância encontrar um número natural $n_{0}$ que satisfaça a condição $\mathbf{(ii)}$ acima. Este número representará a ordem do primeiro termo do somatório.

(Um fato interessante é que nem sempre tal $n_{0}$ natural existe!)


Em $\mathbf{(i)},$ agrupando a soma parcial dos termos até a ordem $(n-1),$ temos

$S_{n}=(a_{n_{0}}+a_{n_{0}+1}+\ldots+a_{n-1})+a_{n}\\ \\ S_{n}=\left(\displaystyle\sum\limits_{k=n_{0}}^{n-1}{a_{k}}\right)+a_{n}\\ \\ \\ S_{n}=S_{n-1}+a_{n}\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;\boxed{\begin{array}{c}a_{n}=S_{n}-S_{n-1} \end{array}}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$

com $n,\;n_{0}\in \mathbb{N}\;\;\text{ e }\;\;1\leq n_{0}\leq n.$


Então, para encontrar o termo geral do somatório, é só fazer a diferença entre dois termos consecutivos das somas parciais, utilizando a equação $\mathbf{(iii)}.$ Por último, devemos encontrar o $n_{0}$ apropriado.


a) $S_{n}=\dfrac{2n}{3n+1}$


$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\\ \\ a_{n}=\dfrac{2n}{3n+1}-\dfrac{2(n-1)}{3(n-1)+1}\\ \\ \\ a_{n}=\dfrac{2n}{3n+1}-\dfrac{2n-2}{3n-3+1}\\ \\ \\ a_{n}=\dfrac{2n}{3n+1}-\dfrac{2n-2}{3n-2}\\ \\ \\ a_{n}=\dfrac{2n\,(3n-2)-(2n-2)\,(3n+1)}{(3n+1)\,(3n-2)}\\ \\ \\ a_{n}=\dfrac{2}{(3n+1)\,(3n-2)}$


$\bullet\;\;$ Encontrando o $n_{0}:$

$S_{n_{0}-1}=0\\ \\ \dfrac{2(n_{0}-1)}{3n_{0}+1}=0\\ \\ \\ 2(n_{0}-1)=0\\ \\ n_{0}-1=0\\ \\ n_{0}=1$


$\bullet\;\;$ Então, concluímos que

$S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n_{0}}^{n}{a_{k}}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{2}{(3k+1)\,(3k-2)}} \end{array}}$


b) $S_{n}=\dfrac{n^{2}}{n+1}$


$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\\ \\ a_{n}=\dfrac{n^{2}}{n+1}-\dfrac{(n-1)^{2}}{(n-1)+1}\\ \\ \\ a_{n}=\dfrac{n^{2}}{n+1}-\dfrac{n^{2}-2n+1}{n}\\ \\ \\ a_{n}=\dfrac{n^{2}}{n+1}-\dfrac{n^{2}-2n+1}{n}\\ \\ \\ a_{n}=\dfrac{n^{2}\cdot n-(n^{2}-2n+1)\,(n+1)}{(n+1)\,n}\\ \\ \\ a_{n}=\dfrac{n^{2}+n-1}{(n+1)\,n}$


$\bullet\;\;$ Encontrando o $n_{0}:$

$S_{n_{0}-1}=0\\ \\ \dfrac{(n_{0}-1)^{2}}{(n_{0}-1)+1}=0\\ \\ \\ \dfrac{(n_{0}-1)^{2}}{n_{0}}=0\\ \\ \\ (n_{0}-1)^{2}=0\\ \\ n_{0}-1=0\\ \\ n_{0}=1$


$\bullet\;\;$ Sendo assim, concluímos que

$S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n_{0}}^{n}{a_{k}}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{k^{2}+k-1}{(k+1)\,k}} \end{array}}$