Question

O ponto Q (-1, a) pertence ao 3° quadrante. Qual o valor de a para que a distância do ponto P (a, -1) ao ponto Q seja 2?

Answer 1

A distância entre dois pontos é definida segundo a seguinte fórmula:
$D= \sqrt{(\Delta x )^2+(\Delta y)^2}$

Como queremos que a distância seja D=2, vamos substituir as informações do enunciado na fórmula e desenvolvê-la:
$D= \sqrt{(\Delta x )^2+(\Delta y)^2} \\ \\ 2= \sqrt{[a-(-1)]^2+(-1-a)^2} \\ \\ 2= \sqrt{(a+1)^2+(-1-a)^2} \\ \\ 2= \sqrt{(a^2+2a+1)+(1+2a+a^2)} \\ \\ 2= \sqrt{2a^2+4a+2} \\ \\ 2^2= (\sqrt{2a^2+4a+2})^2 \\ \\ 4= 2a^2+4a+2 \\ \\ 2a^2+4a-2= 0 ~~~ (\div 2) \\ \\ a^2+2a-1= 0$

Essa equação do segundo grau você pode resolvê-la pelo método que você preferir. Usarei o método de completar trinômio, perceba:
$a^2+2a-1= 0 \\ \\ a^2+2a+1-1-1= 0 \\ \\ (a+1)^2 -2= 0 \\ \\ (a+1)^2 = 2 \\ \\ a+1 = \sqrt{2} ~~~~~~~~~~~ou ~~~~~~~~~~~ a+1= - \sqrt{2} \\ \\ a= \sqrt{2}-1 ~~~~~~~~~~~ ou ~~~~~~~~~~~ a= - \sqrt{2} -1$

Como o ponto pertence ao 3° quadrante adotaremos a como um valor negativo, portanto, teremos como resposta:
$\boxed{a= - \sqrt{2} -1}$