Question

2)Resolva ás equações inrracionais

a)$\sqrt{x-7} = \sqrt{x+1}-2$

b)$\sqrt{x+5} = x-1$

Answer 1

a) $\sqrt{x-7}=\sqrt{x+1}-2$

$\bullet\;\;$ Condições de existência da equação:

Os radicandos (termos "dentro das raízes") não podem ser negativos:

$\begin{array}{rcl} x-7\geq 0&\;\text{ e }\;&x+1\geq 0\\ \\ x\geq 7&\;\text{ e }\;&x\geq -1\\ \\ &x\geq 7&\;\;\;\;\;\mathbf{(i)} \end{array}$


O lado direito da equação é igual à raiz quadrada de um número real (que está no lado esquerdo). Como raiz quadrada nunca é negativa, devemos ter

$\sqrt{x+1}-2\geq 0\\ \\ \sqrt{x+1}\geq 2 \\ \\ x+1\geq 4\\ \\ x\geq 3\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


Fazendo a interseção de $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)},$ obtemos a condição de existência para a equação:

$x\geq 7\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$


$\bullet\;\;$ Resolver a equação dada, respeitando a condição de existência acima:

$\sqrt{x-7}=\sqrt{x+1}-2$


Elevando ao quadrado os dois lados da equação acima, temos

$(\sqrt{x-7})^{2}=(\sqrt{x+1}-2)^{2}\\ \\ x-7=(x+1)-4\sqrt{x+1}+4\\ \\ \diagup\!\!\!\! x-\diagup\!\!\!\! x-7-1-4=-4\sqrt{x+1}\\ \\ -4\sqrt{x+1}=-12\\ \\ \sqrt{x+1}=\dfrac{-12}{-4}\\ \\ \\ \sqrt{x+1}=3$


Novamente, elevando ao quadrado os dois lados da equação acima, temos

$(\sqrt{x+1})^{2}=3^{2}\\ \\ x+1=9\\ \\ x=9-1\\ \\ x=8\;\;\;\;\;\;\text{(e }8\geq 7\text{)}$


Como a solução encontrada satisfaz a condição de existência $\mathbf{(iii)},$ o conjunto solução para a equação dada é

$S=\{8\}$


b) $\sqrt{x+5}=x-1$

$\bullet\;\;$ Condições de existência para a equação:

Os radicandos não podem ser negativos:

$x+5\geq 0\\ \\ x\geq -5\;\;\;\;\;\mathbf{(iv)}$


O lado direito da equação é igual à raiz quadrada de um número real (que está no lado esquerdo). Como raiz quadrada nunca é negativa, devemos ter

$x-1\geq 0\\ \\ x\geq 1\;\;\;\;\;\mathbf{(v)}$


Fazendo a interseção de $\mathbf{(iv)}$ e $\mathbf{(v)},$ obtemos a condição de existência para a equação:

$x\geq 1\;\;\;\;\;\mathbf{(vi)}$


$\bullet\;\;$ Resolver a equação dada, respeitando a condição de existência acima:

$\sqrt{x+5}=x-1$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$(\sqrt{x+5})^{2}=(x-1)^{2}\\ \\ x+5=x^{2}-2x+1\\ \\ x^{2}-2x-x+1-5=0\\ \\ x^{2}-3x-4=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{l} a=1\\b=-3\\c=-4 \end{array} \right.\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1 \cdot (-4)\\ \\ \Delta=9+16\\ \\ \Delta=25\\ \\ \\ x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}\\ \\ \\ x=\dfrac{3\pm 5}{2}$

$\begin{array}{rcl} x=\dfrac{3+5}{2}&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{3-5}{2}\\ \\ x=\dfrac{8}{2}&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{-2}{2}\\ \\ x=4&\;\text{ ou }\;&x=-1\;\;\text{(n\~{a}o serve, pois }-1<1\text{)}\\ \\ &x=4& \end{array}$


Descartamos o valor encontrado que não satisfaz a condição de existência $\mathbf{(vi)}.$ Portanto, o conjunto solução para a equação dada é

$S=\{4\}$