Question

20 PONTOS! Em um corredor, existem 999
armários, numerados de 1 a 999. Inicialmente,
todos estão fechados. A pessoa de número 1
passa e inverte a posição de todos os armários
múltiplos de 1, isto é, abre os armários múltiplos
de 1(todos). Em seguida, a pessoa de número 2 passa e
inverte a posição de todos os armários múltiplos
de 2 (os armários que estão abertos ela fecha e
os que estão fechados ela abre). Esse processo
se repete até a pessoa de número 999. A
quantidade de armários que ficarão abertos e fechados, no
final desse processo, será..?

Answer 1

Juventude, 

Ficarão abertos todos os armários que forem mexidos um número ímpar de vezes (ABRE – FECHA-ABRE), isto quer dizer todos os armários cujos números tiverem um número ímpar de divisores. O número de divisores de um número N é dado por:

Q = (a +1) (b+1) (y+1)........

Sendo a, b, y......... os expoentes de seus fatores primos.

Para que Q seja ímpar é preciso que esses expoentes sejam todos pares o que significa que o número N deve ser quadrado perfeito. EX.: com 3 algarismos: 961 ---(veja que 31*31 = 961). Logo 961 é o maior quadrado perfeito com 3 algarismos.Portanto, ficarão abertos os armários de números: veja a foto....

Outro exemplo: porta 10 tem quatro divisores (1, 2, 5 e 10). Os alunos 1 e 5 abrirão a porta, enquanto que os alunos 2 e 10 a fecharão. 

Os únicos números entre 1 e 999 que têm número ímpar de divisores são os que correspondem a quadrados perfeitos. 
Exemplo: porta 9 tem três divisores (1, 3 e 9). Os alunos 1 e 9 a abrirão, enquanto que o aluno 3 a fechará. 

Assim, o número de portas abertas é, no máximo, √999 = 31,6. 
Como o número deve ser inteiro, o número de portas abertas é 31. 

Com efeito, as portas que estarão abertas são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900 e 961. 
Total: 31 portas abertas.

Espero ter contribuído com algo para o nosso aprendizado !!!!