Question

encontre o o ponto do plano 4x+3y+z=2 está mais próximo de (1,1,1)

Answer 1

Temos um ponto $P=(1,\;1,\;1)$ no espaço,

e também temos a equação de um plano

$\pi:\;4x+3y+z=2$


$\bullet\;\;$ Da equação acima, extraímos um vetor normal ao plano $\pi:$

$\overrightarrow{\mathbf{n}}=(4,\;3,\;1)$


$\bullet\;\;$ O ponto $Q$ do plano $\pi$ que está mais próximo de $P,$ é tal que

$Q=P+\lambda\cdot \overrightarrow{\mathbf{n}}\\ \\ Q=(1,\;1,\;1)+\lambda\cdot (4,\;3,\;1)\\ \\ Q=(1,\;1,\;1)+(4\lambda,\;3\lambda,\;\lambda)\\ \\ Q=(1+4\lambda,\;1+3\lambda,\;1+\lambda)\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$

para algum $\lambda\in \mathbb{R}.$


$\bullet\;\;$ Encontrar o $\lambda$ tal que $Q\in \pi:$

$Q\in \pi\\ \\ \Leftrightarrow\;\;(1+4\lambda,\;1+3\lambda,\;1+\lambda)\in \pi$


Substituindo as coordenadas de $Q$ na equação do plano $\pi,$ devemos ter

$4\cdot (1+4\lambda)+3\cdot (1+3\lambda)+(1+\lambda)=2\\ \\ 4+16\lambda+3+9\lambda+1+\lambda=2\\ \\ 26\lambda+8=2\\ \\ 26\lambda=2-8\\ \\ 26\lambda=-6\\ \\ \lambda=-\frac{6}{26}\\ \\ \lambda=-\frac{3}{13}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


$\bullet\;\;$ Substituindo em $\mathbf{(i)}$ o valor de $\lambda$ encontrado acima, temos

$Q=\left(1+4\cdot (-\frac{3}{13}),\;1+3\cdot (-\frac{3}{13}),\;1+(-\frac{3}{13})\right)\\ \\ Q=\left(1-\frac{12}{13},\;1-\frac{9}{13},\;1-\frac{3}{13}\right)\\ \\ Q=\left(\frac{13-12}{13},\;\frac{13-9}{13},\;\frac{13-3}{13}\right)\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} Q=\left(\frac{1}{13},\;\frac{4}{13},\;\frac{10}{13}\right) \end{array}}$


O ponto do plano $\pi$ que está mais próximo de $(1,\;1,\;1)$ é o ponto $\left(\frac{1}{13},\;\frac{4}{13},\;\frac{10}{13}\right).$