Question

(30 PONTOS) Simplifique a expressão a seguir, e mostre que ela não depende do valor de $\phi:$

$E_{1}=\dfrac{1}{2}\,\cos\phi\cos(\alpha+\phi)+\dfrac{1}{2}\,\cos\phi\cos(\alpha-\phi)+\\ \\ \\ +\dfrac{1}{2}\,\mathrm{sen\,}\phi\,\mathrm{sen}(\alpha+\phi)-\dfrac{1}{2}\,\mathrm{sen\,}\phi\,\mathrm{sen}(\alpha-\phi)$

Answer 1

DA OUTRA VEZ EU FIZ COM MUITA PRESSA, AGORA  FIZ COM CALMA. TEM FICAR PRESTAR ATENÇÃO NAS PASSAGENS.

Vc vai ter que usar e Werner

 E1 = (1/2)cosƟcos(Ɵ+α) +(1/2)cosƟcos(α- Ɵ) + (1/2)senƟsen(α+ Ɵ) - (1/2)senƟsen(α- Ɵ) =

 (1/2)cosƟ[cos(Ɵ+α) + cos(α-Ɵ)] + (1/2)senƟ[sen(α+Ɵ) - sen(α-Ɵ)] =

 (1/2)cosƟ[(cosƟ.cosα - senαsenƟ)+ (cosƟ.cosα + senαsenƟ)] + (1/2)senƟ[(senαcosƟ + senƟcosα)-(senαcosƟ - senƟcosα)] =

(1/2)cosƟ[2cosƟ.cosα)] + (1/2)senƟ[2senƟcosα)] =

cosƟ[cosƟ.cosα)] + senƟ[senƟcosα)] =

[cos²Ɵ.cosα)] + [sen²Ɵcosα)] =

cosα[cos²Ɵ + sen²Ɵ] =

cosα[1] = cosα

Realmente a expressão é completamente independente de Ɵ

Aquela outra a solução é igualzinha a essa.

Answer 2

Ola, devemos relembrar das propriedades trigonométricas para resolver essa questão:

P₁: Sen(a + b) = Sen(a)*Cos(b) + Sen(b)*Cos(a)

P₂: Sen(a - b) = Sen(a)*Cos(b) - Sen(b)*Cos(a)

P₃: Cos(a + b) = Cos(a)*Cos(b) - Sen(a)*Sen(b)

P₄: Cos(a - b) = Cos(a)*Cos(b) + Sen(a)*Cos(b)

Essas propriedades ja são o suficiente para responder a pergunta:


E1 = 1/2*Cos(Φ)*[ Cos(α)*CosΦ)  -  Sen(α)*Sen(Φ)]  + 1/2*Cos(Φ)*[

Cos(α)*Cos(Φ) + Sen(Φ)*Sen(α)]  + 1/2*sen(Φ)*[ sen(α)*Cos(Φ) +

Sen(Φ)*Cos(α)]  - 1/2*Sen(Φ)*[ Sen(α)*Cos(Φ) - Sen(Φ)*Cos(α)]

Aplicando Distributiva:


E1 = 1/2*Cos²(Φ)*Cos(α) -1/2*Cos(Φ)*Sen(a)*Sen(Φ) + 1/2*Cos²(Φ)Cos(α)

 + 1/2*Cos(Φ)Sen(α)*Sen(Φ)  +1/2Sen²(Φ)*Cos(α) +

1/2*Sen(Φ)*Sen(α)*Cos(α) -1/2*Sen(Φ)*Sen(α)*Cos(Φ) + 1/2*Sen²(Φ)Cos(α)


Vamos organizar os termos iguais:

1/2*Cos²(Φ)Cos(α) + 1/2*Cos²(Φ)Cos(α) -1/2*sen(α)*Sen(Φ)*Cos(Φ) +

1/2*Sen(α)*Sen(Φ)*Cos(Φ) + 1/2*Sen(Φ)*Sen(α)*Cos(Φ) -

1/2*Sen(Φ)*Sen(α)*Cos(Φ) + 1/2*Sen²(Φ)*Cos(α) + 1/2*Sen²(Φ)*Cos(α)

Vamos somar os termos:

E1 = Cos²(Φ)*Cos(α) + Sen²(Φ)*Cos(α)


Vamos colocar "Cos(α)" em evidencia.

E1 = Cos(α)[ Cos²(Φ) + Sen²(Φ)] ↔ Ora, teorema fundamental trigonométrico:
 
Sen²x + Cos²x = 1

entao ficamos:

E1 = Cos(α)*[ 1 ] 

E1 = Cos(α)

Bons estudos!