Considere a matriz

A = [-2 ; 1 ; 12 ; -1] (veja na imagem)

De acordo com a matriz dada acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as alternativas e assinale aquela que apresenta um autovetor de A associado ao autovalor λ = 2:

Anexos:

Respostas

respondido por: Lionelson

O autovetor associado a λ = 2 é

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}v = \left(1, \ 4\right)\end{gathered}$}$

Portanto, alternativa E.

Para achar o autovetor associado a um autovalor temos que achar o kernel da seguinte matriz

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\ker\left(A - \lambda I\right)\end{gathered}$}$

Portanto, subtraímos o autovalor da diagonal principal da nossa matriz e fazemos o kernel, dito isso temos então

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\ker\left(A-\lambda I\right) = \left[\begin{array}{c c | c}-2 -2 & 1 & 0\\ 12 & -1-2& 0\end{array}\right]\\ \\\ker\left(A-\lambda I\right) = \left[\begin{array}{c c | c}-4 & 1 & 0\\ 12 & -3& 0\end{array}\right]\\ \\\end{gathered}$}$

Obs: a matriz acima é a matriz diminuida, a expandida é dada por

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\left[\begin{array}{c c}-4 & 1 \\12 & -3\\\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha\\\beta\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}0 \\0\end{array}\right]\end{gathered}$}$

Agora basta escalonar essa matriz, neste caso é muito simples pois é só uma operação

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\left[\begin{array}{c c | c}-4 & 1 & 0\\ 12 & -3& 0\end{array}\right] \xrightarrow{3L_1 - L_2} \left[\begin{array}{c c | c}-4 & 1 & 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right] \end{gathered}$}$

Dai podemos dizer que

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}L_1 : -4\alpha + \beta = 0\\ \\\beta = 4\alpha \end{gathered}$}$

e descrevendo nosso autovetor como

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}v = \left(\alpha,\ \beta\right)\\ \\v = \left(\alpha,\ 4\alpha\right)\\ \\v =\alpha \left(1,\ 4\right), \alpha \in \mathbb{R}\\ \\v = \left(1,\ 4\right)\end{gathered}$}$