Question

$\lim_{x \to \(0} (1 - cos x)/x^2$

sem usar L´hopital

Answer 1

Ok, sem L'hopital

Vamos la!

$\\ \lim_{x \to 0} \frac{1-cox}{x^2} = \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{1-cox}{^x^2}* \frac{1 + cox}{1+cox} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{(1-cox)(1+cox)}{x^2(1+cox)} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{1-(cox)^2}{x^2(1+cox)}$

Sabemos que:

Sen²x + cos²x = 1

que por sua vez,  →  Sen²x = 1 - cos²x

entao fica:

$\lim_{x \to 0} \frac{sen^2x}{x^2(1+cosx)}$

Propriedade de Limite, O produto de uma funcao, é o produto dos Limite.

Entao:


$\lim_{x \to 0} \frac{(senx)^2}{x^2} * \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+cosx}$

Teorema fundamental trigonométrico. → $\lim_{x \to 0} \frac{(Senx)^n}{n} = 1$

Entao ficamos:


$\\ 1* \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+cosx} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+cos(0)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$