Question

Geometria -ajuda alguem ?

Answer 1

Definição de paralelismo entre dois vetores do $\mathbb{R}^{3}:$

Dois vetores $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ são paralelos se, e somente se

existe algum escalar $\lambda\in \mathbb{R},$ tal que $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\lambda \overrightarrow{\mathbf{w}}.$

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Questão $\mathbf{(I)}:$

Nesta questão, pede-se para encontrar as coordenadas do ponto $C,$ tal que

$\overrightarrow{\mathbf{AB}}=\lambda\, \overrightarrow{\mathbf{BC}}\\ \\ B-A=\lambda\, (C-B)\\ \\ (-1;\;4;\;3)-(-1,5;\;2;\;2)=\lambda\, [(4;\;y_{_{C}};\;z_{_{C}})-(-1;\;4;\;3)]\\ \\ (0,5;\;2;\;1)=\lambda\, (5;\;y_{_{C}}-4;\;z_{_{C}}-3)$


Igualando as coordenadas, devemos ter

$\left\{ \begin{array}{l} 0,5=5\lambda\\ 2=(y_{_{C}}-4)\lambda\\ 1=(z_{_{C}}-3)\lambda \end{array} \right.$


Da primeira equação, obtemos $\lambda=0,1.$ Substituindo nas outras duas, encontramos as coordenadas que faltam do ponto $C:$

$2=(y_{_{C}}-4)\cdot 0,1\\ \\ y_{_{C}}-4=20\\ \\ y_{_{C}}=24\\ \\ \\ 1=(z_{_{C}}-3)\cdot 0,1\\ \\ z_{_{C}}-3=10\\ \\ z_{_{C}}=13$


O ponto procurado é $C(4;\;24;\;13).$


Questão $\mathbf{(II)}:$

$\overrightarrow{\mathbf{AB}}=\lambda\, \overrightarrow{\mathbf{CD}}\\ \\ B-A=\lambda\, (D-C)\\ \\ (0;\;y_{_{B}};\;z_{_{B}})-(3;\;4;\;3)=\lambda [(2;\;0;\;2,5)-(-2;\;-1;\;-2)]\\ \\ (-3;\;y_{_{B}}-4;\;z_{_{B}}-3)=\lambda \,(4;\;1;\;4,5)$


Igualando as coordenadas, devemos ter

$\left\{ \begin{array}{l} -3=4\lambda\\ y_{_{B}}-4=\lambda\\ z_{_{B}}-3=4,5\lambda \end{array} \right.$


Da primeira equação, encontramos $\lambda=-\frac{3}{4}=-0,75.$


Substituindo nas outras equações, encontramos as coordenadas que faltam do ponto $B:$

$y_{_{B}}-4=-0,75\\ \\ y_{_{B}}=-0,75+4\\ \\ y_{_{B}}=3,25\\ \\ \\ z_{_{B}}-3=4,5\cdot (-0,75)\\ \\ z_{_{B}}-3=-3,375\\ \\ z_{_{B}}=-3,375+3\\ \\ z_{_{B}}=-0,375$


O ponto $B$ procurado é $B(0;\;3,25;\;-0,375).$