Question

qual é alternativa que representa a antiderivada mais geral da integral definida para a área da medida da area da região hachurada

Answer 1

A antiderivada é

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}A(x) = e^x - \sin x\end{gathered}$

A área hachurada será dada pela diferença de integrais, ou seja, a área de g menos a área de f, sendo assim

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}A = \int_{a}^{b} g(x)\,dx - \int_{a}^{b} f(x)\,dx\end{gathered}$

Substituindo as expressões

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}A = \int_{a}^{b} e^x\,dx - \int_{a}^{b} \cos x\,dx\end{gathered}$

Ambas são integrais imediatas

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\begin{minipage}{5.6cm}Integrais imediatas \\\\\int e^x\,dx = e^x + C_1 \\ \\\int \cos x\,dx = \sin x + C_2 \end{minipage}}\end{gathered} }$

Portanto a área vai ser dada pela expressão

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}A = e^x\bigg|_{a}^{b} - \sin x\bigg|_{a}^{b} \end{gathered}$

E portanto a antiderivada da área entre os dois gráficos é

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}A(x) = e^x - \sin x\end{gathered}$

Se fixarmos a = 0, ou seja, a área num intervalo [0, b] podemos simplificar para

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}A = e^b -\sin b - 1 \end{gathered}$

Em específico, no intervalo dado no enunciado temos que a área é

                                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A = e^{\frac{\pi}{2}} - 2 \end{gathered} }$

Espero ter ajudado

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