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5 Reais
10÷2=5
BONS estudos!!
As propriedades dos logaritmos são propriedades operatórias que simplificam os cálculos dos logaritmos, principalmente quando as bases não são iguais.
Definimos logaritmo como sendo o expoente que se deve elevar uma base, de modo que o resultado seja uma determinada potência. Isto é:
loga b = x ⇔ ax = b, com a e b positivos e a ≠ 1
Sendo,
a: base do logaritmo
b: logaritmando
c: logaritmo
Observação: quando não aparece a base de um logaritmo consideramos que seu valor é igual a 10.
Propriedades Operatórias
Logaritmo de um produto
Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois ou mais números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números.
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Exemplo
Considerando log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, determine o valor do log 60.
Solução
Podemos escrever o número 60 como um produto de 2.3.10. Neste caso, podemos aplicar a propriedade para esse produto:
log 60 = log (2.3.10)
Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto:
log 60 = log 2 + log 3 + log 10
As bases são iguais a 10 e o log10 10 = 1. Substituindo esses valores, temos:
log 60 = 0,3 + 0,48 + 1 = 1,78
Logaritmo de um quociente
Em qualquer base, o logaritmo do quociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números.
log com a subscrito parêntese esquerdo b sobre c parêntese direito igual a log com a subscrito b menos log com a subscrito c
Exemplo
Considerando log 5 = 0,70, determine o valor do log 0,5.
Solução
Podemos escrever 0,5 como sendo 5 dividido por 10, neste caso, podemos aplicar a propriedade do logaritmo de um quociente.
log espaço 0 vírgula 5 igual a log espaço parêntese esquerdo 5 sobre 10 parêntese direito log espaço 0 vírgula 5 igual a log espaço 5 espaço menos log espaço 10 log espaço 0 vírgula 5 igual a 0 vírgula 7 espaço menos espaço 1 log espaço 0 vírgula 5 espaço igual a menos 0 vírgula 3
Logaritmo de uma potência
Em qualquer base, o logaritmo de uma potência de base real e positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
log com a subscrito b à potência de c igual a c. log com a subscrito b
Podemos aplicar essa propriedade no logaritmo de uma raiz, pois, podemos escrever uma raiz na forma de expoente fracionário. Assim:
log com a subscrito espaço x enésima raiz de b igual a log com a subscrito b à potência de 1 sobre x fim do exponencial igual a 1 sobre x log com a subscrito b
Exemplo
Considerando log 3 = 0,48, determine o valor do log 81.
Solução
Podemos escrever o número 81 como sendo 34. Neste caso, vamos aplicar a propriedade do logaritmo de uma potência, ou seja:
log 81 = log 34
log 81 = 4 . log 3
log 81 = 4 . 0,48
log 81 = 1,92
Mudança de base
Para aplicar as propriedades anteriores é necessário que todos os logaritmos da expressão estejam na mesma base. Do caso contrário, será necessário transformar todos para uma mesma base.
A mudança de base também é muito útil quando precisamos usar a calculadora para encontrar o valor de um logaritmo que está em uma base diferente de 10 e de e (base neperiana).
A mudança de base é feita aplicando-se a seguinte relação:
log com a subscrito b igual a numerador log com c subscrito b sobre denominador log com c subscrito a fim da fração
Uma aplicação importante dessa propriedade é que o logab é igual ao inverso do logba, ou seja:
log com a subscrito b igual a numerador 1 sobre denominador log com b subscrito a fim da fração
Exemplo
Escreva o log3 7 na base 10.
Solução
Vamos aplicar a relação para mudar o logaritmo para a base 10:
log com 3 subscrito 7 igual a numerador log espaço 7 sobre denominador log espaço 3 fim da fração