Question

Um quadrado está inscrito num circulo.outro quadrado está inscrito num circulo com raio 20% maior.A área do segundo quadrado é maior que a área do primeiro em: ( no gabarito consta ser 44%,mas não consigo chegar nessa resposta.se possível uma resolução comentada,e de passo a passo.)

Answer 1

 Num quadrado inscrito num círculo, sua diagonal é igual a 2R. Sendo assim o lado do quadrado é:

$l^2+l^2=(2R)^2 \\ \\ 2l^2=4R^2 \\ \\ l^2=2R^2 \\ \\ l=R \sqrt{2}$

O raio do outro círculo é R+20%R

$R+0,2R=1,2R$

No outro quadrado inscrito a diagonal mede 2.(1,2R)=2,4R

O sue lado mede

$l^2+l^2=(2,4R)^2 \\ \\ 2l^2=5,76R^2 \\ \\ l^2= \frac{5,76}{2} R^2 \\ \\ l^2=2,88R^2 \\ \\ l= \sqrt{2,88R^2} \\ \\ l= \sqrt{1,44.2R^2} \\ \\ l=1,2 \sqrt{2} R$

Área do 1º quadrado inscrito

$A_{1} =(R \sqrt{2} )^2=2R^2$

Área do 2º quadrado 

$A_{2} =(1,2 \sqrt{2} R)^2=1,44.2.R^2=2,88R^2$

Diferença entre as duas áreas

$A_{2} - A_{1} =2,88R^2-2R^2=0,88R^2$

Porcentagem em que $A_{2}$ é maior que $A_{1}$

$\frac{0,88R^2}{2R^2} =0,44= \frac{44}{100} =$=44%

Answer 2

 Vamos lá:

■ Situação 1)

r → raio da do circulo 1 

l → lado do quadrado inscrito no circulo de raio r.

2r é o diâmetro do circulo de raio r

Pelo Teorema de Pitágoras fica:

l² + l² = (2r)² ⇔ 2l² = 4r² ⇔ l = r√2

■ Situação 2)

R → raio da do circulo maior 

L→ lado do quadrado inscrito no circulo de raio R.

2R é o diâmetro do circulo de raio R ( circulo maior)

Pelo Teorema de Pitágoras fica:

L² + L² = (2R)² ⇔ 2L² = 4R² ⇔ L = R√2

■ Situação 3)
 
R é 20% maior que r. 
Então fica assim:

R = r + (20/100)*r = r + (1/5)*r = (5r + r)/5 = 6r/5

R = 6r/5 ⇒ L = (6r√2)/5

■ Calculo das áreas:

quadrado de lado l → A1 = (r√2)² = 2r²

quadrado de lado L → A2 = [(6r√2)/5]² = 36r²*2/25 = 72r²/25

■ Agora estabelecendo a comparação entre A1 e  A2

A1 → 2r²...............100%

A2→  72r²/25...........x


x =  (72r²/25 * 100)/2r² =  72r²/2r² * 100/25 = 36*4 = 144%

Logo 144% - 100% = 44%, ou ainda, A2 é 44% maior que A1

Tudo bem?

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29/02/2016 
Sepauto - SSRC
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