Question

Calcule o valor da integral indefinida usando o método para decompor em frações parciais.
teorema a ser usado: ∫$\frac{P(x)}{(x-\alpha)(x-\beta ) }$= A In $|x-\alpha |+BIn|x-\beta |+k$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\Large \int \: \frac{x}{ {x}^{2} - 4} dx \\ \\ \Large \frac{x}{(x + 1)(x - 1)} = \dfrac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1} \\ \\ \frac{x = (x - 1)A + (x + 1)B}{(x + 1)(x - 1) } \\ \\ x =Ax - A+ Bx + B \\ \\ x = Ax+ Bx- A + B \\ \\ x = (A + B)x + ( - A + B) \\ \\ \left \{{{A + B = 1} \atop{- A + B = 0}} \right. \\ \\ 2B = 1 \\ \\ \Large \boxed{ B = \frac{1}{2} } \\ \\ A + B = 1 \\ \\ A + \frac{1}{2} = 1 \\ \\ A = 1 - \frac{1}{2} \\ \\ A = \frac{2 \times 1 - 1 \times 1}{2} \\ \\ A = \frac{2 - 1}{2} \\ \\ \Large \boxed{A = \frac{1}{2} } \\ \\ \Large\int \frac{ \frac{1}{2} }{x + 1} + \frac{ \frac{1}{2} }{x - 1} dx \\ \\ \Large \int \frac{1}{2(x + 1)} dx + \Large \int \frac{1}{2(x - 1)} dx \\ \\ \Large { {\frac{1}{2} ln |x - 1| + \frac{1}{2} ln |x + 1| + k}}\\\\ \Large \boxed{\green{ ln|[(x-1)(x+1)]^\frac{1}{2}|\:+ k, k\in \mathbb{R}}}$

$\Large \boxed{\underline{\bf \blue{Bons\: Estudos!}}}\\ \\\Large \boxed{\underline{\bf 28/05/2021}}$

Answer 2

• O resultado da sua integral é 1/2 ln|( x-1)| + 1/2 ln|(x+1)| + k.

Antes de aplicar o método de integração por frações parciais, perceba que:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2-4}\ dx \Leftrightarrow \begin{cases}\delta P(x) \rightarrow 1\\ \delta Q(x) \rightarrow 2\end{cases}\end{aligned}$

Portanto, devemos aplicar a integração por frações parciais. Pra isso, devemos primeiramente fatorar o denominador.

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2-4}\ dx \Leftrightarrow \int \frac{x}{(x-2)(x+2)}\ dx\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2-4}\ dx \Leftrightarrow \int \frac{A}{(x-2)}\ dx + \int \frac{B}{(x+2)}\ dx \end{aligned}$

• Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2-4}\ dx \Leftrightarrow \frac{A(x+2) + B(x-2)}{(x-2)(x+2)}\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2-4} \ dx\Leftrightarrow \frac{Ax+2A + Bx-2B}{(x-2)(x+2)}\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2-4}\ dx \Leftrightarrow \frac{x\cdot(A+B)+2A -2B}{(x-2)(x+2)}\end{aligned}$

• Feito isso, devemos montar um sisteminha linear. Para que assim possamos encontrar o valor do A e o valor do B. Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \begin{cases} A+B = 1\\ 2A-2B=0 \end{cases} \end{aligned}$

Resolvendo essa sisteminha, iremos encontrar que A = 1/2 e B = 1/2. Portanto, vamos substituir os valores.

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2-4}\ dx \Leftrightarrow \int \frac{A}{(x-2)}\ dx + \int \frac{B}{(x+2)}\ dx\end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int \frac{x}{x^2-4}\ dx \Leftrightarrow \int \frac{\frac{1}{2} }{(x-2)}\ dx + \int \frac{\frac{1}{2} }{(x+2)}\ dx\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2-4}\ dx \Leftrightarrow \int \frac{1 }{2\cdot (x-2)}\ dx + \int \frac{1 }{2\cdot (x+2)}\ dx\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2-4}\ dx \Leftrightarrow \frac{1}{2}\int \frac{1 }{x-2}\ dx + \frac{1}{2}\int \frac{1 }{x+2}\ dx\end{aligned}$

Agora, devemos resolver essas duas integrais para que assim possamos finalizar a questão. Perceba que as duas vão dar o logaritimo natural de u. Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2-4}\ dx \Leftrightarrow \frac{1}{2}\int \frac{1 }{x-2}\ dx + \frac{1}{2}\int \frac{1 }{x+2}\ dx\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \frac{1}{2}\int \frac{1 }{x-2}\ dx + \frac{1}{2}\int \frac{1 }{x+2}\ dx\Leftrightarrow \frac{1}{2}\ ln|(u)| + \frac{1}{2}\ ln|(u)| +k\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \frac{1}{2}\ ln|(x-2)| + \frac{1}{2}\ ln|(x+2)| +k\Leftrightarrow\end{aligned}$

• Portanto, integrando x/x²-4 temos como resposta:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int \frac{x}{x^2-4}\ dx \Leftrightarrow \boxed{\boxed{\green{ \frac{1}{2}\ ln|(x-2)| + \frac{1}{2}\ ln|(x+2)| +k}}}\end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Integração por frações parciais.

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