Question

Os pontos A(3,-2) e C(-1,3) são vértices opostos
de um quadrado ABCD. A equação da reta que
contém a diagonal BD é:
(A) 5x + 4y - 7 = 0.
(B) 8x -10y - 3 = 0.
(C) 8x + 10y - 13 =0.
(D) 4x - 5y + 3 = 0.
(E) 4x + 5y - 7 = 0.​

Answer 1

Resposta: Alternativa correta é a letra B

Explicação passo-a-passo:

Questão muito interessante de geometria analítica, onde usaremos conceitos como ponto médio, equação de reta e perpendicularidade entre duas retas.  Repare que AC é uma diagonal deste quadrado e que BD é a outra diagonal.  Elas são perpendiculares e se encontram no ponto médio de A e C. Vamos encontrar esse ponto médio.

PM de AC = ( (XA + XC)/2 ; (YA + YC)/2 )

PM de AC = ( 1;1/2 )

A equação da reta que está sobre BD tem que passar pelo ponto (1;1/2) e ser perpendicular à reta que passa por AC, deste modo os coeficientes angulares das retas AC e BD devem respeitar à seguinte relação:

mBD  x  mAC = -1

Vamos encontrar mAC

mAC = Δy/Δx = (y2-y1)/(x2-x1) = [3 - (-2)] / [-1 - 3]  

mAC = - 5/4

Aplicando à relação:

mBD  x  -5/4 = -1

mBD  = 4/5

Agora, para encontrar a equação de reta que passa pela diagonal BD, basta aplicar o ponto (1;1/2) e o coeficiente angular 4/5 na fórmula:  y-y0 = m (x-x0)

y - 1/2 = 4/5 (x -1)

y - 1/2 - 4x/5 + 4/5 = 0

(multiplicaremos todos os elementos por 10)

10y - 5 - 8x + 8 = 0

10y - 8x + 3 = 0

Ao multiplicarmos por -1 todos os elementos chegaremos na equação de reta da opção b, veja:

8x -10y - 3 = 0  Alternativa correta é a letra B