Question

Resolva a integral: (integral) tg x sec^2x dx

Answer 1

Substitui Tgx = U. Ao derivar du/dx vamos encontrar (secx)^2 = du/dx logo, du = (secx)^2dx. So substituir na integral. => Integral(Udu) => u^(2+1)/(2+1) => u^2/2 + C. Substitue "U" por Tgx novamente. => 1/2*(tgx)^2 + C

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\int\tan{x}\cdot \sec^2{x}\,dx=\dfrac{\tan^2{x}}{2}+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos a seguinte integral $\displaystyle{\int\tan{x}\cdot\sec^2{x}\, dx}$, devemos relembrar alguns conceitos acerca de substituições e derivadas.

Considere a substituição $u=\tan{x}$

Sabemos que a tangente pode ser reescrita como $\tan{x}=\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}$.

Aqui, calcularemos a derivada do quociente, pois as derivadas das funções seno e cosseno são mais simples de encontrar.

Lembre-se que $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-v'\cdot u}{v^2}$, o que pode ser comprovado pela regra do produto.

Então, aplique a regra do quociente:

$(\tan{x})'=\left(\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\right)'\\\\\\ (\tan{x})' = \dfrac{\sin'{x}\cdot \cos{x}-\cos'{x}\cdot\sin{x}}{\cos^2{x}}$

Temos que $\sin'{x}=\cos{x}$ e $\cos'{x}=-\sin{x}$, logo

$(\tan{x})' = \dfrac{cos{x}\cdot \cos{x}-(-\sin{x})\cdot\sin{x}}{\cos^2{x}}$

Multiplique os valores e efetue a propriedade de sinais

$(\tan{x})' = \dfrac{cos^2{x}+\sin^2{x}}{\cos^2{x}}$

Sabemos pela equação fundamental que $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$, logo

$(\tan{x})' = \dfrac{1}{\cos^2{x}}$

Lembre-se que a função secante é definida como o inverso da função cosseno, ou seja, $\sec{x}=\dfrac{1}{\cos{x}}$. Isto significa que:

$(\tan{x})' = \sec^2{x}$

Portanto, voltemos para a nossa integral.

Ao considerarmos $u=\tan{x}$, derivamos ambos os lados para encontrarmos o diferencial $\, du$, o qual deve fazer parte da integral, para que integremos a função $u$.

$du=(\tan{x})'$

Substitua o valor que encontramos para a derivada da tangente. Lembre-se que pela regra da cadeia, devemos encontrar a derivada da função que compõe ela, ou seja:

$du=\sec^2{x}\, dx$

Como podemos ver, o diferencial $du$ já estava presente na equação. Logo, podemos substituir todos os valores

$\displaystyle{\int u\, du}}$

Sabemos integrar esta função, pois de acordo com a fórmula $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}$, então:

$\displaystyle{\int u\, du=\dfrac{u^{1+1}}{1+1}}$

Some os valores

$\dfrac{u^{2}}{2}}$

Desfaça a substituição em $u$

$\dfrac{\tan^2{x}}{2}$

Adicione a constante de integração $C$, visto que a integral é indefinida.

$\dfrac{\tan^2{x}}{2}+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado da nossa integral.