Question

Para resolvermos a derivada de funções compostas, é necessária a utilização da regra da cadeia.

Dada a função y = (1+x cos(x))-5, encontre:
dy/dx



Escolha uma:

a.
-5 (1+x cos(x))-6(-x sen(x)+cos(x)).​​​​​​​


b.
-5 (1+x cos(x))-5(-x cos(x)).​​​​​​​


c.
-5 (1+x cos(x))-6(-x cos(x)).


d.
-5 (1+x cos(x))-6 .​​​​​​​


e.
5 (1+x cos(x))-6(cos(x)).​​​​​​​

Answer 1

Olá, boa tarde.

Dada a função $y=(1+x\cdot\cos(x))^{-5}$, devemos encontrar $\dfrac{dy}{dx}$.

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$\dfrac{d}{dx}(y)=\dfrac{d}{dx}((1+x\cdot\cos(x))^{-5})$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada de uma função $y=y(x)$ é dita implícita e calculada pela regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(y(x))=y'(x)\cdot \dfrac{dy}{dx}$.
• A derivada de uma função composta $f(g(x))$, em que $f,~g$ são contínuas é calculada pela regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(f(g(x)))=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• Consoante com a regra acima, a derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de um produto de funções $f(x)\cdot g(x)$, em que $f,~g$ são contínuas é calculada pela regra do produto: $\dfrac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.
• A derivada da função cosseno é o oposto da função seno: $\dfrac{d}{dx}(\cos(x))=-\sin(x)$.

Aplique a regra da cadeia e da potência

$1\cdot y^{1-1}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-5\cdot(1+x\cdot\cos(x))^{-5-1}\cdot\dfrac{d}{dx}(1+x\cdot\cos(x))\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=-5\cdot(1+x\cdot\cos(x))^{-6}\cdot\dfrac{d}{dx}(1+x\cdot\cos(x))$

Aplique a regra da soma

$\dfrac{dy}{dx}=-5\cdot(1+x\cdot\cos(x))^{-6}\cdot\left(\dfrac{d}{dx}(1)+\dfrac{d}{dx}(x\cdot\cos(x))\right)$

Aplique a regra da potência e do produto

$\dfrac{dy}{dx}=-5\cdot(1+x\cdot\cos(x))^{-6}\cdot\left(0+\dfrac{d}{dx}(x)\cdot\cos(x)+x\cdot\dfrac{d}{dx}(\cos(x))\right)$

Aplique a regra da potência e calcule a derivada da função cosseno

$\dfrac{dy}{dx}=-5\cdot(1+x\cdot\cos(x))^{-6}\cdot(0+1\cdot x^{1-1}\cdot\cos(x)+x\cdot(-\sin(x)))\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=-5\cdot(1+x\cdot\cos(x))^{-6}\cdot(\cos(x)-x\cdot\sin(x))$

Esta é a derivada desta função e é a resposta contida na letra a).

Answer 2

Resposta:

Resposta correta Letra A

Explicação passo a passo: