Question

Determine as correntes I1, I2 e I3 do circuito aplicando as leis de Kirchhoff

Answer 1

         Aplicando-se as leis de Kirchhoff ao circuito apresentado obtém-se as correntes com os seguintes valores/características:

I1 = 3,82 A;

I2 = 0,27 A (com sentido oposto ao indicado);

I3 = 4,09 A.

         Esse é um problema típico de solução de circuito elétrico de corrente contínua utilizando-se das Leis de Kirchhoff.  

         Para se aplicar a lei das malhas, deve-se percorrer o circuito, partindo de um ponto e voltando a ele. No percurso, deve-se somar (ou subtrair) as tensões em cada elemento de circuito encontrado:

• Ao passar por um resistor, no sentido da corrente deve-se subtrair a tensão (-R · i).

• Ao passar por um resistor, no sentido oposto da corrente deve-se somar a tensão (+R · i).

• Ao passar por uma fonte do maior para o menor potencial deve-se subtrair a tensão da fonte (-V).

• Ao passar por uma fonte do menor para o maior potencial deve-se somar a tensão da fonte (+V).

         Para se aplicar a lei dos nós, deve-se escolher um nó (ponto de onde saem três ou mais caminhos) e, usando o princípio de conservação da carga, igualar a soma das correntes que chegam ao nó com a soma das correntes que saem dele.

⇒  Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões à malha esquerda, representada por um E vermelho na figura (anexo), partindo do nó a no sentido indicado temos:

                            $\large \text{ \boxed{-R_4 \cdot i_2 - V_2 + V_1 - R_3 \cdot i_1 = 0} (I)}$

⇒  Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões à malha direita, representada por um  D azul na figura (anexo), partindo do nó a no sentido indicado temos:

                            $\large \text{ \boxed{-R_5 \cdot i_3 - R_6 \cdot i_3 + V_2 + R_4 \cdot i_2 = 0} (II)}$

Foram dados os valores das resistências e fontes,

• $\large R_3 = 10 {\sf \: \Omega}$

• $\large R_4 = 30 {\sf \: \Omega}$

• $\large R_5 = 5 {\sf \: \Omega}$

• $\large R_6 = 15 {\sf \: \Omega}$

• $\large V_1 = 120 {\sf \: V}$

• $\large V_2 = 90 {\sf \: V}$

Substituindo esses valores nas equações (I) e (II) obtemos:

         $\large \begin{cases} \text{ -30 \cdot i_2 - 90 + 120 - 10 \cdot i_1 = 0 (I-a)} \\\\ \text{ -5 \cdot i_3 - 15 \cdot i_3 + 90 + 30 \cdot i_2 = 0 (II-a)} \end{cases}$

Organizando os termos:

         $\large \begin{cases} \text{ - 10 \cdot i_1 -30 \cdot i_2 = -30 (I-a)} \\\\ \text{ + 30 \cdot i_2 - 20 \cdot i_3 = -90 (II-a)} \end{cases}$

⇒Aplicando a lei de Kirchhoff das correntes (lei dos nós) ao nó a temos:

                              $\large \text{ \boxed{i_1 = i_2 + i_3} (III)}$

Substituindo a equação (III) na equação (Ia) obtemos:

         $\large \begin{cases} \text{ - 10 \cdot ( i_2 + i_3 ) -30 \cdot i_2 = -30 (I-b)} \\\\ \text{ + 30 \cdot i_2 - 20 \cdot i_3 = -90 (II-a)} \end{cases}$

Reorganizando,

         $\large \begin{cases} \text{ - 40 \cdot i_2 -10 \cdot i_3 = -30 (I-b) \times(-2) } \\\\ \text{ + 30 \cdot i_2 - 20 \cdot i_3 = -90 (II-a)} \end{cases}$

Multiplicando-se a equação (I-b) por (-2),

         $\large \begin{cases} \text{ + 80 \cdot i_2 +20 \cdot i_3 = +60 (I-c) } \\\\ \text{ + 30 \cdot i_2 - 20 \cdot i_3 = -90 (II-a)} \end{cases}$

Somando-se as equações (I-c) e (II-a) temos,

                            $\large + 110 \cdot i_2 = -30$

                              $\boxed{\boxed{\large \text{ i_2 = -\dfrac{3}{11} \sf A } }}$

o sinal negativo indica que a corrente I2 possui sentido oposto ao escolhido.

Substituindo o resultado para i2 na equação (I-a) temos,

                     $\large - 10 \cdot i_1 -30 \cdot \left( -\dfrac{3}{11} \right )= -30$

             $\large - 10 \cdot i_1 = -30 - \dfrac{90}{11} = \dfrac{-330 -90}{11} = -\dfrac{420}{11}$

                                       $\boxed{\boxed{\large \text{ i_1 = \dfrac{42}{11} \sf A } }}$

Da equação (III) podemos escrever:

                                     $\Large i_3 = i_1 - i_2$

Substituindo os resultados anteriores, temos

                       $\large i_3 = \dfrac{42}{11} - \left ( -\dfrac{3}{11} \right ) = \dfrac{42}{11} +\dfrac{3}{11}$

                                      $\boxed{\boxed{\large \text{ i_3 = \dfrac{45}{11} \sf A } }}$

         Solucionado o circuito, concluímos que os valores das correntes são:

I1 = 3,82 A; I2 = 0,27 A (com sentido oposto ao indicado), I3 = 4,09 A.

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