a razão entre os ângulos de dois polígonos regulares é 9/10. O número de lados do segundo excede o primeiro em 4 unidades . Os polígonos são?

Respostas

respondido por: dougOcara

Resposta:

Os polígonos são Octógono e Dodecágono.

Explicação passo-a-passo:

O ângulo interno de um polígono regular (∝):

∝=S/n

A soma dos ângulos internos S de um polígono regular:

S=(n-2).180°, onde n = número de lados

1° Polígono

∝₁=S₁/n₁

S₁=(n₁-2).180°

2° Polígono

∝₂=S₂/n₂

S₂=(n₂-2).180°

"..a razão entre os ângulos de dois polígonos regulares é 9/10..."

∝₁/∝₂=9/10 => (S₁/n₁)/(S₂/n₂)=9/10 => (S₁/n₁)×(n₂/S₂)=9/10 =>

[(n₁-2).180°/n₁]×(n₂/(n₂-2).180°]=9/10 =>

[(n₁-2)/n₁]×(n₂/(n₂-2)]=9/10

[(n₁-2)n₂]/[(n₁(n₂-2)]=9/10 (I)

"...O número de lados do segundo excede o primeiro em 4 unidades..."

n₂=n₁+4 (II)

Substituindo (II) em (I):

[(n₁-2)(n₁+4)]/[(n₁(n₁+4-2)]=9/10

[n₁²+4n₁-2n₁-8]/[n₁²+2n₁]=9/10

10n₁²+20n₁-80=9n₁²+18n₁

n₁²+2n₁-80=0

$\displaystyle Aplicando~a~f\acute{o}rmula~de~Bhaskara~para~n_1^{2}+2n_1-80=0~~e~comparando~com~(a)n_1^{2}+(b)n_1+(c)=0,~determinamos~os~coeficientes:~\\a=1{;}~b=2~e~c=-80\\C\acute{a}lculo~do~discriminante~(\Delta):&\\&~\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(2)^{2}-4(1)(-80)=4-(-320)=324\\C\acute{a}lculo~das~raizes:&\\n_1^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(2)-\sqrt{324}}{2(1)}=\frac{-2-18}{2}=\frac{-20}{2}=-10\\\\n_1^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(2)+\sqrt{324}}{2(1)}=\frac{-2+18}{2}=\frac{16}{2}=8$ Descartar n₁'= -10, porque não existe lado negativo