Encontre a área formada entre as funções y=2x-1 e y=x^2-11x+10
Respostas
Resposta:
Aproximadamente 232.8. Precisamente, é (625√5)/6.
Explicação passo-a-passo:
(Observação: ~= Significa "aproximadamente igual")
Seja f(x) = 2x - 1 e g(x) = x² - 11x + 10
Para encontrar a intersecção delas, basta igualar f(x) e g(x):
f(x) = g(x) ---> 2x - 1 = x² - 11x + 10 ---> x² - 13x + 11 = 0
Teremos então as seguintes raízes:
x1 = 13/2 - 5√(5)/2
x2 = 13/2 + 5√(5)/2
Que representam as abscissas dos pontos de intersecção. Portanto, a área formada entre elas se encontra entre essas duas abscissas.
Para encontrar a área, vamos pensar da seguinte maneira: podemos aproximar a área entre essas duas funções somando vários retângulos pequenos começando de x = x1 até x = x2, com altura f(x) - g(x) (pois f(x) é maior que g(x) no intervalo entre x1 e x2) e largura Δx.
Daí, a área de cada um desses retângulos será (f(x) - g(x)) * Δx e com isso, a área aproximada será a soma dessas áreas: Σ(f(x) - g(x)) * Δx.
Para Δx cada vez menores, melhor será a nossa aproximação. Portanto, pegaremos o limite quando Δx tende à 0 de (Σ(f(x) - g(x)) * Δx), que será equivalente à ∫(f(x) - g(x))dx, onde dx representa nosso Δx tendendo à 0 e ∫ a soma de parcelas infinitesimais (isto é, muito pequenas).
Com isto, teremos uma integral que deve ser avaliada de x1 até x2:
f(x) - g(x) = 2x - 1 - (x² - 11x + 10) = -x² + 13x - 11
∫(-x² + 13x + 9)dx = ∫(-x²)dx + ∫(13x)dx + ∫(-11)dx
Utilizando a regra da integral da potência, que diz que:
∫(x^a)dx = (x^(a + 1))/(a + 1)
teremos:
∫(-x²)dx + ∫(13x)dx + ∫(-11)dx = -x³/3 + 13x²/2 - 11x = I(x)
Com a integral indefinida encontrada, iremos avaliar ela de x1 até x2:
I(x2) - I(x1) = ?
I(x2) = I(13/2 + 5√(5)/2) ~= 228
I(x1) = I(13/2 - 5√(5)/2) ~= -4.8
---> I(x2) - I(x1) = 228 - -(4.8) = ~232.8
Esta é a área formada pelas funções. Note que no final foi utilizado calculadora pois os cálculos eram bem feios. Para obter a resposta exata, sem aproximações, calcular I(x2) e subtrair de I(x1).