Question

limite de x tendendo ao infinito de [raiz(3x²+2x+1) - raiz(2x)], alguém poderia fazer o passo a passo dela?

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\lim_{x\to\infty}\sqrt{3x^2+2x+1} - \sqrt{2x}$

Para resolver esse limite, vamos dividir os dois termos pelo de maior grau, ou seja, x:

$\lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{3x^2+2x+1}}{x} - \frac{ \sqrt{2x}}{x}$

Como sabemos, a raiz de "x" ao quadrado é basicamente "x" nesse caso, pois x tende ao infinito, então:

$\lim_{x\to\infty}\sqrt{ \frac{3x {}^{2} }{x {}^{2} } + \frac{2x}{x {}^{2} } + \frac{1}{x {}^{2} } } - \sqrt{ \frac{2x}{x {}^{2} } } \\ \\ \lim_{x\to\infty} \sqrt{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x {}^{2} } } - \sqrt{ \frac{2}{x} }$

Sabemos que a divisão de uma coisa finita por outra finita, o resultado é "0", podemos ver isso no teorema abaixo:

$\lim_{x\to \pm\infty} \frac{1}{x {}^{n} } = 0 , \forall n \in\mathbb{Z} {}^{ \ast}$

Portanto, vamos ter que:

$\lim_{x\to\infty} \sqrt{3 + 0 + 0} - \sqrt{0} \\ \\ \lim_{x\to\infty} \sqrt{3} \: \: = \: \: \sqrt{3}$

Com isso podemos concluir que a resposta é:

$\boxed{\lim_{x\to\infty}\sqrt{3x^2+2x+1} = \sqrt{3} }$

Espero ter ajudado