Um planeta apresenta raio médio de sua órbita igual ao triplo do raio médio da órbita terrestre. Qual o período desse planeta?
Respostas
Resposta:
Leis de Kepler sobre o movimento planetário foram desenvolvidas entre 1609 e 1619 pelo astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler. As três leis de Kepler, usadas para descrever as órbitas dos planetas do Sistema Solar, foram construídas com base em medidas astronômicas precisas, obtidas pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe.
Introdução às leis de Kepler
As contribuições deixadas por Nicolau Copérnico na área da astronomia romperam com a visão geocentrista do Universo, derivada do modelo planetário de Claudio Ptolomeu. O modelo sugerido por Copérnico, embora complexo, permitiu a previsão e a explicação das órbitas de diversos planetas, entretanto, apresentava algumas falhas, sendo a mais dramática delas uma explicação satisfatória para a órbita retrógrada de Marte durante alguns períodos do ano.
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A resolução dos problemas inexplicáveis pelo modelo planetário de Copérnico veio somente no século XVII, pelas mãos de Johannes Kepler. Para tanto, Kepler admitiu que as órbitas planetárias não eram perfeitamente circulares, mas sim elípticas. Em posse de dados astronômicos extremamente precisos, realizados por Brahe, Kepler estabeleceu duas leis que regem o movimento dos planetas, 10 anos depois, publicou uma terceira lei, que permite estimar o período orbital ou até mesmo o raio da órbita dos planetas que giram em torno do Sol.
Por meio das leis de Kepler é possível determinar a forma das órbitas planetárias
Por meio das leis de Kepler é possível determinar a forma das órbitas planetárias
Leis de Kepler
As leis do movimento planetário de Kepler são conhecidas como: lei das órbitas elípticas, lei das áreas e lei dos períodos. Juntas estas explicam como funciona o movimento de qualquer corpo orbitando algum astro massivo, como planetas ou estrelas. Vamos conferir o que se afirma nas leis de Kepler:
1ª lei de Kepler: lei das órbitas
A primeira lei de Kepler afirma que a órbita dos planetas que giram em torno do Sol não é circular, mas sim elíptica. Além disso, o Sol sempre ocupa um dos focos dessa elipse. Apesar de elípticas, algumas órbitas, como a da Terra, são muito próximas de um circulo, pois são elipses que apresentam uma excentricidade muito pequena. A excentricidade, por sua vez, é a medida que mostra o quanto uma figura geométrica difere-se de um círculo e pode ser calculada pela relação entre os semieixos da elipse.
“A órbita dos planetas é uma elipse em que o Sol ocupa um dos focos.”
A figura (fora de escala) mostra que a órbita da Terra é elíptica e que o Sol está em um dos focos.
A figura (fora de escala) mostra que a órbita da Terra é elíptica e que o Sol está em um dos focos.
2ª lei de Kepler: lei das áreas
A segunda lei de Kepler afirma que a linha imaginária que liga o Sol aos planetas que o orbitam varre áreas em intervalos de tempo iguais. Em outras palavras, essa lei afirma que a velocidade com que as áreas são varridas é igual, isto é, a velocidade aureolar das órbitas é constante.
“A linha imaginária que liga o Sol aos planetas que o orbitam varre áreas iguais em intervalos de tempos iguais.”
De acordo com a lei das áreas, para o mesmo intervalo de tempo, as áreas A1 e A2 são iguais.
De acordo com a lei das áreas, para o mesmo intervalo de tempo, as áreas A1 e A2 são iguais.
3ª lei de Kepler: lei dos períodos ou lei da harmonia
A terceira lei de Kepler afirma que o quadrado do período orbital (T²) de um planeta é diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol (R³). Além disso, a razão entre T² e R³ tem exatamente a mesma magnitude para todos os astros que orbitam essa estrela.
“A razão entre o quadrado do período e o cubo do raio médio da órbita de um planeta é constante.”
A expressão usada para o cálculo da terceira lei de Kepler é mostrada a seguir, confira:
T – período orbital
R – raio médio da órbita
Observe a próxima figura, nela mostramos os semieixos maior e menor de uma órbita planetária em torno do Sol:
O raio médio da órbita, utilizado no cálculo da terceira lei de Kepler, é dado pela média entre os raios máximo e mínimo. As posições mostradas na figura, que caracterizam a maior e a menor distância da Terra em relação ao Sol, são chamadas de afélio e periélio, respectivamente.
O raio médio é calculado pela média entre os raios do periélio e afélio.
O raio médio é calculado pela média entre os raios do periélio e afélio.
Quando a Terra aproxima-se do periélio, sua velocidade orbital aumenta, uma vez que a aceleração gravitacional do Sol intensifica-se. Dessa maneira, a Terra tem máxima energia cinética quando nas proximidades do periélio. Aproximando-se do afélio, ela perde energia cinética, tendo assim a sua velocidade orbital reduzida à sua menor medida.
Resposta:
3√3 maior que o período da Terra
Explicação:
Basta utilizar a terceira lei de Kepler.
Tp²/Rp³=Tt²/Rt³
Considerando que Tp e Rp são, respectivamente, o período e o raio do planeta e que Tt e Rt são, respectivamente, o período e o raio da Terra.
Dessa forma, temos:
Rp = 3Rt
Tp=?
Tp²/27Rt³=Tt²/Rt³
Temos, então, que Tp²/27 = Tt²
Assim, sabemos que Tp/3√3 = Tt
O período do planeta é 3√3 vezes maior que o período da Terra.