Question

Sejam os numeros reais m e x que satisfazem simultaneamente as condições sen x = m - 1 e cos = raiz de 1-m^2.Qual é o valor de m?

Answer 1

$\mathrm{sen\,}x=m-1\\ \\ \cos x=\sqrt{1-m^{2}}$


Sabemos que pela a Relação Fundamental da Trigonometria, devemos ter

$\mathrm{sen^{2}\,}x+\cos^{2}x=1$


Substituindo os valores do seno e do cosseno fornecidos pelo enunciado, obtemos a seguinte expressão em função de $m:$

$(m-1)^{2}+(\sqrt{1-m^{2}})^{2}=1\\ \\ \diagup\!\!\!\!\!\! m^{2}-2m+1+1-\diagup\!\!\!\!\!\! m^{2}=1\\ \\ -2m+2=1\\ \\ -2m=1-2\\ \\ -2m=-1\\ \\ m=\dfrac{-1}{-2}\\ \\ \boxed{m=\dfrac{1}{2}}$


ATENÇÃO: Devemos verificar se o valor de $m$ encontrado satisfaz as restrições para o seno e para o cosseno, que são

$-1\leq \mathrm{sen\,}x\leq 1\;\;\text{ e }\;\;-1\leq \cos x\leq 1$


Substituindo o valor de $m$ nas expressões dadas, obtemos

$\bullet\;\;\mathrm{sen\,}x=\dfrac{1}{2}-1\\ \\ \mathrm{sen\,}x=-\dfrac{1}{2}\;\;\;\;(\checkmark)\\ \\ \\ \\ \bullet\;\;\cos x=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}\\ \\ \\ \cos x=\sqrt{1-\dfrac{1}{4}}\\ \\ \\ \cos x=\sqrt{\dfrac{3}{4}}\\ \\ \\ \cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\;\;\;(\checkmark)$


Como o valor de $m$ encontrado satisfaz as restrições para o seno e para o cosseno, temos que

$m=\dfrac{1}{2}$