Respostas
Pede-se para informar qual é o valor da expressão: x³ + (1/x³), sabendo-se que:
x + (1/x) = 3 . (I)
Bem, agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Vamos tomar a expressão (I) acima e vamos elevar ambos os membros ao cubo. Assim, teremos:
[x + (1/x)]³ = 3³ ------ desenvolvendo o cubo nos dois membros, teremos:
x³ + 3*x²*1/x + 3*x*(1/x)² + (1/x³) = 27 ----"arrumando" o 1º membro, teremos:
x³ + 3x²/x¹ + 3x¹/x² + (1/x³) = 27 ----- ou, o que é a mesma coisa:
x³ + 3x²⁻¹ + 3x¹⁻² + (1/x³) = 27
x³ + 3x¹ + 3x⁻¹ + (1/x³) = 27 ---- vamos ordenar, ficando assim:
x³ + (1/x³) + 3x + 3x⁻¹ = 27 ---- agora poremos "3" em evidência nos fatores em que ele é comum. Assim:
x³ + (1/x³) + 3*(x + x⁻¹) = 27 ----- veja que x⁻¹ = 1/x. Assim:
x³ + (1/x³) + 3*(x + 1/x) = 27 ---- ou, o que é a mesma coisa:
x³ + (1/x³) + 3*(x + (1/x)) = 27
Agora note que, conforme a expressão (I), temos que: 1 + (1/x) = 3. Então, na expressão aí de cima, vamos substituir: "x + (1/x)" por "3", com o que ficaremos assim:
x³ + (1/x³) + 3*(3) = 27
x³ + (1/x³) + 9 = 27 ---- passando "9" para o 2º membro, temos:
x³ + (1/x³) = 27 - 9
x³ + (1/x³) = 18 <---- Pronto. Esta é a resposta. Este é o valor pedido.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Resposta:
x + 1/x = 3
x³ + 1/x³
Explicação passo-a-passo:
primeiro vamos decompor x³ + 1/x³ficando assim:
x³ + 1/x³= (x + 1/x).((x)^2-x.(1/x)+(1/x)^2)
ficando assim↓
=(x + 1/x).(x^2-1+1/x^2)
aqui temos x + 1/x que é =3
então ↓
3.(x^2-1+1/x^2)
com esse resultado vamos então pegar o x + 1/x = 3 e tentar chegar no (x^2-1+1/x^2) elevando as duas igualdades ao quadrado.
vejamos ↓
x + 1/x = 3
(x + 1/x)^2 = 3^2
encontramos um produto notável que é o quadrado da soma.
então ↓
(x^2+2.x.1/x+(1/x)^2 = 9
x^2+2+1/x^2 = 9
obtivemos (x^2+2+1/x^2) que é diferente de (x^2-1+1/x^2)
para que o +2 que esta diferente de -1 precissamos diminuir 3
entao ↓
(x^2+2-3+1/x^2) = 9-3 (não esquecer de diminuir em ambos lados da igualdade)
(x^2-1+1/x^2) = 6
então ↓
(x + 1/x).(x^2-1+1/x^2) substituindo
3.6=18