Question

Desenvolva o binômio (x + 3)*4?

Answer 1

Recordemos a fórmula da expansão do binômio de Newton:

$(a+b)^{n}=\dbinom{n}{0}a^{n}\,b^{0}+\dbinom{n}{1}a^{n-1}\,b^{1}+\ldots+\dbinom{n}{n-1}a^{1}\,b^{n-1}+\dbinom{n}{n}a^{0}\,b^{n}\\ \\ \\ (a+b)^{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{\dbinom{n}{k}a^{n-k}\,b^{k}}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


sendo $n$ um número natural,

e $\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$

é o coeficiente binomial do termo de ordem $(k+1).$

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O termo de ordem $(k+1)$ da expansão é dado por

$t_{k+1}=\dbinom{n}{k}a^{n-k}\,b^{k}\,,\;\;\;\;\;k=0,\,1,\,\ldots,\,n\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


Sendo assim, podemos compactar a fórmula $\mathbf{(i)}$ da seguinte forma:

$(a+b)^{n}=t_{1}+t_{2}+\ldots+t_{n}+t_{n+1}\\ \\ (a+b)^{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{t_{k+1}}\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$

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Para esta questão, temos

$(a+b)^{n}=(x+3)^{4}$


ou seja,

$a=x,\;b=3\;\text{ e }\;n=4.$


O termo de ordem $(k+1)$ é dado pela fórmula $\mathbf{(ii)}:$

$t_{k+1}=\dbinom{4}{k}x^{4-k}\cdot 3^{k}\,,\;\;\;\;\;k=0,\,\ldots,\,4$


$\bullet\;\;$ Para $k=0,$ temos o 1º termo:

$t_{1}=\dbinom{4}{0}x^{4}\cdot 3^{0}\\ \\ \\ t_{1}=\dfrac{4!}{0!\cdot (4-0)!}\cdot x^{4}\cdot 3^{0}\\ \\ \\ t_{1}=1\cdot x^{4}\cdot 1\\ \\ t_{1}=x^{4}$


$\bullet\;\;$ Para $k=1,$ temos o 2º termo:

$t_{2}=\dbinom{4}{1}x^{4-1}\cdot 3^{1}\\ \\ \\ t_{2}=\dfrac{4!}{1!\cdot (4-1)!}\cdot x^{3}\cdot 3\\ \\ \\ t_{2}=4\cdot x^{3}\cdot 3\\ \\ t_{2}=12x^{3}$


$\bullet\;\;$ Para $k=2,$ temos o 3º termo:

$t_{3}=\dbinom{4}{2}x^{4-2}\cdot 3^{2}\\ \\ \\ t_{3}=\dfrac{4!}{2!\cdot (4-2)!}\cdot x^{2}\cdot 9\\ \\ \\ t_{3}=6\cdot x^{2}\cdot 9\\ \\ t_{3}=54x^{2}$


$\bullet\;\;$ Para $k=3,$ temos o 4º termo:

$t_{4}=\dbinom{4}{3}x^{4-3}\cdot 3^{3}\\ \\ \\ t_{4}=\dfrac{4!}{3!\cdot (4-3)!}\cdot x^{1}\cdot 27\\ \\ \\ t_{4}=4\cdot x\cdot 27\\ \\ t_{4}=108x$


$\bullet\;\;$ Para $k=4,$ temos o 5º termo:

$t_{5}=\dbinom{4}{4}x^{4-4}\cdot 3^{4}\\ \\ \\ t_{5}=\dfrac{4!}{4!\cdot (4-4)!}\cdot x^{0}\cdot 81\\ \\ \\ t_{5}=1\cdot 1\cdot 81\\ \\ t_{5}=81$

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Então, pela fórmula $\mathbf{(iii)},$ chegamos a

$(x+3)^{4}=t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}+t_{5}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}(x+3)^{4}=x^{4}+12x^{3}+54x^{2}+108x+81 \end{array}}$