Newton, que possui √3 metros de altura, vê o topo de um prédio sob um ângulo de 60 graus. Afastando-se 100 metros, vê o mesmo topo, sob um ângulo de 30°graus. Dessa forma, é correto afirmar que a altura do prédio é 5013 4813 51 3 49 3
Respostas
Resposta:
51√3
Explicação passo-a-passo:
Olá, Patrícia Martins!
Vou tentar ser o mais clara possível na explicação.
Sabemos que, num primeiro momento, Newton, que mede √3 metros, de uma determinada distância X, vê o topo do prédio de um ângulo de 60°, assim é possível montar o triângulo retângulo da primeira imagem.
Dessa forma, chamamos a altura do prédio de h e descobrimos que h menos a altura de Newton, é igual ao cateto (h-√3). Logo, a altura total do prédio é igual a (h-√3)+√3.
Num segundo momento, Newton anda mais 100 metros a partir da distância que se encontrava anteriormente e vê o prédio sob o ângulo de 30°, formando o triângulo retângulo da segunda imagem.
Com base nisso, montaremos duas equações, relacionando os dois catetos por meio da tangente (cat. oposto/ cat. adjacente) de 60° e 30°.
tg 60° = h-√3/ x
√3 = h-√3/x
h-√3 = √3 x
Agora basta igualar tudo a zero.
h -√3 - √3x =0
tg 30°= h-√3/100+x
√3/3 = h-√3/100+x
√3 (100+x) = 3 (h-√3)
100√3+ √3x = 3h - 3√3
Igualando a zero:
100√3 + √3x -3h + 3√3 =0
103√3 + √3x + 3h =0
E então, basta montar um sistema com essas duas equações para encontrarmos, primeiramente, o valor de X.
Vamos resolver o sistema pelo método da adição, multiplicando a primeira equação por -3.
h -√3 - √3x =0 ×(-3)
103√3 + √3x + 3h =0
-3h +3√3 +3√3x =0
103√3 + √3x + 3h =0
Assim é possível cortar o -3h com o +3h, e prosseguindo, somamos:
3√3 + 3√3x =0
+ -103√3 -√3x =0
_________________
-100√3 +2√3x =0. Agora é só isolar o x.
2√3 x = 100√3
x = 100√3/ 2√3
x = 50
E então ao jogar o valor de x em uma das equações do sistema, conseguimos encontrar o valor de h:
3h -103√3 - 50√3 = 0
3h = 103√3 + 50√3
3h = 153√3
h = 153√3/3
h = 51√3
Pronto!
Para conferir, podemos jogar esse valor na fórmula inicial que encontramos para a altura do prédio:
(h-√3) +√3
51√3-√3 +√3. Cortando o -√3 com o +√3:
51√3.
Espero que não tenha ficado dúvidas! ;)
