Question

x^4 - 8x^2 + 8 = 0 equação biquadrada​

Answer 1

Olá, boa noite!

       $\swarrow$

Leia abaixo.

• Equações biquadradas.

Equações biquadradas são  equações escritas da seguinte forma geral: $\sf ax^4 + bx^2+ c = 0$ . Para resolver tal equação, devemos encontrar as sua raízes, para que isso seja possível,  é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau.

Para que possamos transformar uma equação biquadrada em uma equação do 2º grau, devemos aplicar a seguinte propriedade:

$\sf x^4 = y^2\ ; \ x^2 = y$.

Após termos feito a equação do segundo grau, basta trocarmos os respectivos valores para o x.

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( Sua questão ):

$\large\begin{array}{lr}\sf x^4 - 8x^2 + 8 =0\end{array}$

$\large\begin{array}{lr}\sf y^2 - 8y + 8 =0\end{array}$

$\large\begin{array}{lr}\sf y^2 - 8y + 8 =0\end{array} \left\{\begin{array}{ll}\sf a= 1\\\sf b= -8\\\sf c= 8\end{array}\right.$

$\large\begin{array}{lr}\sf y= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c} }{2\cdot a} \end{array}$

$\large\begin{array}{lr}\sf y= \dfrac{-(-8) \pm \sqrt{8^2 -4\cdot 1\cdot 8} }{2\cdot 1} \end{array}$

$\large\begin{array}{lr}\sf y= \dfrac{8 \pm \sqrt{32} }{2} \end{array}$

$\large\begin{array}{lr}\sf y= \dfrac{8 \pm 4\sqrt{2} }{2} \end{array}$

$\large\begin{array}{lr}\sf y_{1}=4 + 2\sqrt{2} \end{array}$

$\large\begin{array}{lr}\sf y_{2}=4-2\sqrt{2}\right)\end{array}$

$\large\begin{array}{lr}\sf x_{1}= \pm \sqrt{4+2\sqrt{2}}\end{array}$

$\large\begin{array}{lr}\sf x_{2}= \pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}\end{array}$

$\large\begin{array}{lr}\sf S= \left\{ \large\begin{array}{lr}\sf \large\begin{array}{lr}\sf y_{1}=4+2\sqrt{2}\end{array}\\\\\sf \large\begin{array}{lr}\sf y_{2}=4-2\sqrt{2}\right)\end{array}\\\\\sf \large\begin{array}{lr}\sf x_{1}= \pm \sqrt{4+2\sqrt{2}}\end{array}\\\\\sf \large\begin{array}{lr}\sf x_{2}= \pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}\end{array}\end{array}\right\}\end{array}$

Espero ter ajudado!

Bons estudos!

Answer 2

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo-a-passo:

$\mathsf{x^4 - 8x^2 + 8 = 0 \iff y = x^2}$

$\mathsf{y^2 - 8y + 8 = 0}$

$\mathsf{\Delta = b^2 - 4.a.c}$

$\mathsf{\Delta = (-8)^2 - 4.1.8}$

$\mathsf{\Delta = 64 - 32}$

$\mathsf{\Delta = 32}$

$\mathsf{y = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{8 \pm \sqrt{32}}{2} \rightarrow \begin{cases}\mathsf{y' = \dfrac{8 + 4\sqrt{2}}{2} = 4 + 2\sqrt{2}}\\\\\mathsf{y'' = \dfrac{8 - 4\sqrt{2}}{2} = 4 - 2\sqrt{2}}\end{cases}}$

$\mathsf{x^2 = y}$

$\mathsf{x' = \pm\:\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}$

$\mathsf{x'' = \pm\:\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{S = \{\:\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}\:\:,\:-\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}\:\:,\:\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}\:\:,\:-\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}\:\:\}}}}$