Question

Alguém pode me ajudar? Calcule a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva orientada: F(x,y) = (x², xy), segmento de reta de (0, 0) α (2, 2)

Answer 1

Resposta:   $\displaystyle\int_\gamma x^2\,dx+xy\,dy=\dfrac{16}{3}.$

Explicação passo a passo:

Calcular a integral de linha do campo vetorial no $\mathbb{R}^2:$

    $\begin{array}{ccll}\mathbf{F}:&\mathbb{R}^2&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}^2\\ &(x,\,y)&\!\!\mapsto\!\!&\mathbf{F}(x,\,y)=(x^2)\mathbf{i}+(xy)\mathbf{j}=\langle x^2,\,xy \rangle \end{array}$

ao longo da curva $\gamma$ parametrizada conforme abaixo:

    $\begin{array}{ccll}\gamma:&[0,\,2]&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}^2\\ &t&\!\!\mapsto\!\!&\gamma(t)=(t,\,t) \end{array}$

Obs.: a imagem de $\gamma$ é um segmento de reta que liga os pontos $(0,\,0)$ a $(2,\,2).$ Esta é apenas uma parametrização possível para este segmento de reta.

Encontrando o vetor tangente $\gamma'(t)$

    $\gamma'(t)=\frac{d}{dt}(t,\,t)=\langle 1,\,1 \rangle$

com $t\in[0,\,2].$

Reescrevendo a integral de linha de $\mathbf{F}$ ao longo de $\gamma$ em termos do parâmetro $t,$ temos

    $\displaystyle\int_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\\\\\\ =\int_0^2 \mathbf{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt\\\\\\ =\int_0^2 \mathbf{F}(t,\,t)\cdot \langle 1,\,1\rangle\,dt$

Substituindo as coordenadas de $\gamma(t)=(t,\,t)$ na lei do campo vetorial $\mathbf{F},$ temos

     $\mathbf{F}(t,\,t)=\big\langle (t)^2,\,(t)(t)\big\rangle=\langle t^2,\,t^2 \rangle$

Então, a integral fica

    $\displaystyle=\int_0^2 \langle t^2,\,t^2 \rangle \cdot \langle 1,\,1 \rangle\,dt$

Desenvolvendo o produto escalar,

    $\displaystyle=\int_0^2 (t^2\cdot 1+t^2\cdot 1)\,dt\\\\\\ =\int_0^2 2t^2\,dt\\\\\\ =\left.\left(\frac{2t^3}{3}\right)\right|_0^2$

    $=\left(\dfrac{2\cdot 2^3}{3}\right)-\left(\dfrac{2\cdot 0^3}{3}\right)\\\\\\ =\dfrac{2\cdot 8}{3}-0\\\\\\ =\dfrac{16}{3}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

Bons estudos!