Question

5.Encontre a fração geratriz de 2,3939... e mostre que ela é diferente da fração geratriz de 2.4.
(Sugestão:encontre as frações geratrizes dos dois decimais e,em seguida,transforme essas frações em frações de mesmo denominador para poder compará-las.)
Por favor me dê a resposta e me explique passo a passo!

Answer 1

i) Podemos separar esse número decimal em duas partes: 2 e 0,393939.... Note que quando nós os somamos temos o número procurado, daí, para escrever 2,3939... em forma de fração, temos apenas que saber qual a fração de 0,3939... e somar com 2.
Chamando a fração geratriz de 0,3939... de x teremos, então:

$x=0,393939\ldots \\ 100x=39,393939\ldots \\ \\ \mathrm{Subtraindo \ uma \ da \ outra} \\ \\ 99x=39 \ {:3 \atop \Longrightarrow} \ 33x=13 \Rightarrow \boxed{x=\frac{13}{33}}$

ii) Agora para encontrar a geratriz de 2,393939... basta encontrar o valor de 2+x:

$2+0,3939\ldots = 2+x \Rightarrow 2,3939\ldots=2+\frac{13}{33} \\ \\ {\boxed{2,3939\ldots=\frac{79}{33}}$

iii) Agora temos que ver a fração geratriz de 2,4. Essa é mais simples que a anterior:

$2,4=\frac{24}{10} \Rightarrow \boxed{2,4=\frac{12}{5}}$

iv) Por fim, basta comparar as duas frações e ver se elas são ou não iguais. Para isso, vamos reduzi-las ao mesmo denominador e comparar seus numeradores; se elas forem iguais o numerador será o mesmo:

$mmc(33,5)=165\\ \\ \frac{12}{5}=\frac{396}{165} \ \mathrm{e} \ \frac{79}{33}=\frac{395}{165}$

Reduzimos as duas frações ao mesmo denominador, mas os numeradores deram valores diferentes, portanto os dois decimais não possuem a mesma fração geratriz.