Question

Sendo m e n dois números tais que o polinômio Q(x)=2x³+mx²+n x-2 é divisível por (2x+1) e por (x+2) então m-n vale : a) -3 b) 3 c) 0 d) 6

Answer 1

 Se é divisível por $2x + 1$, então o resto é zero; daí fazemos:

 

$2x + 1 = 0 \\ 2x = - 1 \\ x = \frac{- 1}{2}$

 

 E, temos que $Q\left ( \frac{- 1}{2} \right ) = 0$

 

 Portanto,

 

$Q(x) = 2x^3 + mx^2 + nx - 2 \\\\ Q\left ( \frac{- 1}{2} \right ) = 2 \times \left ( \frac{- 1}{2} \right )^3 + m \times \left ( \frac{- 1}{2} \right )^2 + n \times \left ( \frac{- 1}{2} \right ) - 2 \\\\ 0 = 2 \times \frac{- 1}{8} + m \times \frac{1}{4} + n \times \frac{- 1}{2} - 2 \\\\ - \frac{1}{4} + \frac{m}{4} - \frac{n}{2} - 2 = 0 \\\\ - 1 + m - 2n - 8 = 0 \\ \boxed{m - 2n = 9}$

 

 

 Raciocínio análogo para o outro divisor!

 

Se é divisível por $x + 2$, então o resto é zero; daí fazemos:

 

$x + 2 = 0 \\ x = - 2$

 

 E, temos que $Q(- 2) = 0$

 

 Portanto,

 

$Q(x) = 2x^3 + mx^2 + nx - 2 \\ Q\left ( - 2 \right ) = 2 \times \left ( - 2 \right )^3 + m \times \left ( - 2 \right )^2 + n \times \left ( - 2 \right ) - 2 \\ 0 = 2 \times (- 8) + m \times 4 + n \times (- 2) - 2 \\ - 16 + 4m - 2n - 2 = 0 \\ \boxed{4m - 2n = 18}$

 

 Resolvendo esse sistema de duas equações...

 

$\begin{cases} m - 2n = 9 \;\; \times (- 1 \\ 4m - 2n = 18 \end{cases} \\\\ \begin{cases} - m + 2n = - 9 \\ 4m - 2n = 18 \end{cases} \\ -------- \\ 4m - m - 2n + 2n = 18 - 9 \\ 3m = 9 \\ \boxed{m = 3}$

 

 Para calcular o valor de 'n' substituímos m por 3 em qualquer equação do sistema, segue:

 

$m - 2n = 9 \\ 3 - 2n = 9 \\ - 2n = 6 \\ \boxed{n = - 3}$

 

 

 Enfim,

 

$m - n = \\ 3 - (- 3) = \\ 3 + 3 = \\ \boxed{\boxed{\boxed{m - n = 6}}}$

 

 Alternativa d.